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Lección 14Triángulos y prismas con longitudes fraccionarias

Exploremos el área y el volumen cuando hay fracciones involucradas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar cómo encontrar el volumen de un prisma rectangular usando cubos cuyas longitudes de arista son una fracción unitaria.
  • Puedo usar división y multiplicación para resolver problemas que involucran áreas de triángulos con bases y alturas fraccionarias.
  • Sé cómo hallar el volumen de un prisma rectangular aun cuando las longitudes de las aristas no son números enteros.

14.1 Área del triángulo

Encuentra el área del triángulo A en centímetros cuadrados. Muestra tu razonamiento.

A triangle labeled A is drawn such that one vertex is to the left, one vertex is above the first vertex and to right, and the third vertex is below the first and directly below the second vertex. The vertical side of the triangle is labeled 4 and one half centimeters. A dashed line from the first vertex to the vertical side of the triangle is drawn and a right angle symbol is indicated. The dashed line is labeled 4 and one half centimeters.

14.2 Bases y alturas de triángulos

  1. El área del triángulo B es 8 unidades cuadradas. Encuentra la longitud de b . Muestra tu razonamiento.
    A triangle labeled B has a horizontal side on the bottom of the triangle and a vertex above the horizontal side. A dashed line from the vertex to the horizontal side is drawn and a right angle symbol is indicated. The horizontal side is labeled b and the dashed line is labeled eight thirds.
  2. El área del triángulo C es  \frac{54}{5} unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud de  h ? Muestra tu razonamiento.
    A triangle labeled C has a horizontal side at the top of the triangle and a vertex below the horizontal side and to the left. A horizontal line extends from the horizontal side and to the left. A dashed line is drawn from the bottom vertex to the extended horizontal line and a right angle symbol is indicated. The dashed line is labeled h and the horizontal side of the triangle is labeled 3 and three fifths.

14.3 Volúmenes de cubos y prismas

Usa los cubos o el applet para contestar las siguientes preguntas. 

abrir en modo presentación

  1. Tu profesor te entregará una colección de cubos con una longitud de arista de \frac12 pulgada. Usalos para ayudarte a responder las siguientes preguntas.

    1. Este es un dibujo de un cubo con una longitud de arista de 1 pulgada. ¿Cuántos cubos con una longitud de arista de \frac12 pulgada se necesitan para llenar este cubo?

    2. ¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con una longitud de arista de \frac12 pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

    3. Cuatro cubos están apilados en una sola torre para formar un prisma. Cada cubo tiene una longitud de arista de \frac12 pulgada. Dibuja el prisma y encuentra su volumen en pulgadas cúbicas.

  2. Usa cubos con una longitud de arista de \frac12 pulgada para construir prismas con los largos, anchos y alturas que se muestran en la tabla.

    1. Para cada prisma, escribe en la tabla cuántos cubos de \frac12 pulgada caben en el prisma y el volumen del prisma.

      largo del prisma(in) ancho del prisma (in) altura del prisma (in) número de cubos de \frac12 pulgada dentro del prisma volumen del prisma (pulgadas cúbicas)
      \frac12 \frac12 \frac12
      1 1 \frac12
      2 1 \frac12
      2 2 1
      4 2 \frac32
      5 4 2
      5 4 2\frac12
    2. Analiza los valores de la tabla. ¿Qué notas sobre la relación entre las longitudes de las aristas de cada prisma y su volumen?
  3. ¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular de 1\frac12 pulgada por 2\frac14 pulgadas por 4 pulgadas? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Una fracción unitaria tiene un 1 en el numerador. Estas son fracciones unitarias: \frac13, \frac{1}{100}, \frac11 . Estas no son fracciones unitarias: \frac29, \frac81, 2\frac15 .

  1. Encuentra tres fracciones unitarias cuya suma sea  \frac12 . Por ejemplo: \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac12 ¿Cuántos ejemplos como este puedes encontrar?
  2. Encuentra una caja cuya área de superficie en unidades cuadradas sea igual a su volumen en unidades cúbicas. ¿Cuántas así puedes encontrar?

Resumen de la lección 14

Si un prisma rectangular tiene longitudes de arista de 2 unidades, 3 unidades y 5 unidades, podemos imaginarlo como 2 capas de cubos unitarios, donde cada capa tiene  (3 \boldcdot 5) cubos unitarios. Así que el volumen, en unidades cúbicas, es: 2\boldcdot 3\boldcdot 5

Two layers of unit cubes. Each layer has edge lengths of 1 unit, 3 units, and 5 units. The figure is labeled 2 times 3 times 5.

Para encontrar el volumen de un prisma rectangular con longitudes de arista fraccionarias, podemos imaginarlo como si estuviera formado por cubos que tienen una fracción unitaria como longitud de arista. Por ejemplo, si construimos un prisma de \frac12  pulgada de altura,  \frac32 pulgadas de ancho y 4 pulgadas de largo usando cubos con longitud de arista de  \frac12 pulgada, tendríamos:

  • Una altura de 1 cubo, ya que 1 \boldcdot \frac 12 = \frac12
  • Un ancho de 3 cubos, ya que 3 \boldcdot \frac 12 = \frac32
  • Un largo de 8 cubos, ya que 8 \boldcdot \frac 12 = 4

El volumen del prisma sería  1 \boldcdot 3 \boldcdot 8  o 24 unidades cúbicas. ¿Cómo encontramos su volumen en pulgadas cúbicas?

Sabemos que cada cubo con una longitud de arista de  \frac12 pulgada tiene un volumen de  \frac 18 pulgadas cúbica, ya que \frac 12 \boldcdot \frac 12 \boldcdot \frac 12 = \frac18 . Como el prisma se construyó usando 24 de estos cubos, su volumen, en pulgadas cúbicas, sería 24 \boldcdot \frac 18  o 3 pulgadas cúbicas.  

El volumen del prisma, en pulgadas cúbicas, también se puede encontrar multiplicando las longitudes de arista fraccionarias en pulgadas: \frac 12 \boldcdot  \frac 32 \boldcdot 4 = 3

Problemas de práctica de la lección 14

  1. Clare usa pequeños cubos de madera, con aristas de longitud  \frac12 pulgada, para construir un cubo más grande que tenga 4 pulgadas de longitud. ¿Cuántos cubos pequeños necesita? Explica tu razonamiento.

  2. El triángulo tiene un área de 7\frac{7}{8} cm2 y una base de 5\frac14 cm.

    ¿Cuál es la longitud de h ? Explica tu razonamiento.

    A triangle with a horizontal base labeled five and one fourth centimeters. A horizontal line is extended from the base and to the left. A vertical dashed line is drawn from the top right vertex to the extended base and a right angle symbol is indicated.

    1. ¿Cuál de las siguientes expresiones se puede usar para encontrar cuántos cubos con aristas de longitud  \frac13 unidad caben en un prisma que mide 5 unidades por 5 unidades por 8 unidades? Explica o muestra tu razonamiento.

      1. (5 \boldcdot \frac 13) \boldcdot (5 \boldcdot \frac 13) \boldcdot (8 \boldcdot \frac 13)

      2. 5 \boldcdot 5 \boldcdot 8

      3. (5 \boldcdot 3) \boldcdot (5 \boldcdot 3) \boldcdot (8 \boldcdot 3)

      4. (5 \boldcdot 5 \boldcdot 8) \boldcdot (\frac 13)

    2. Mai dice que también se puede encontrar la respuesta multiplicando las longitudes de las aristas del prisma y luego multiplicando el resultado por 27. ¿Estás de acuerdo con su afirmación? Explica tu razonamiento.

  4. Una persona construye una cerca con tablas de madera de 6\frac14 pulgadas de ancho, organizadas una junto a la otra sin huecos. ¿Cuántas tablas se necesitan para construir una cerca que mida 150 pulgadas de largo? Muestra tu razonamiento.

  5. Determina el valor de cada expresión. Muestra tu razonamiento y comprueba tu respuesta.

    1. 2\frac17 \div \frac27
    1. \frac {17}{20} \div \frac14

  6. Una cubeta contiene  11\frac23 galones de agua y está \frac56 llena. ¿Cuántos galones de agua habría en la cubeta llena? 

    Escribe una ecuación de multiplicación y una de división para representar la situación y luego determina la respuesta. Muestra tu razonamiento.

  7. Hay 80 niños en un gimnasio. El 75% tienen calcetines. ¿Cuántos no tienen calcetines? Si tienes dificultades, considera usar un diagrama de cinta con secciones, donde cada una represente 25% de los niños en el gimnasio.

    1. Lin quiere ahorrar $75 para un viaje a la ciudad. Si ya ha ahorrado $37.50, ¿qué porcentaje de su meta ha ahorrado? ¿Qué porcentaje le falta?
    2. Noah quiere ahorrar $60 para poder comprar un boleto para un concierto. Si ya ha ahorrado $45, ¿qué porcentaje de su meta ha ahorrado? ¿Qué porcentaje le falta?