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Lección 10Distingamos circunferencia y área

Contrastemos circunferencia y área.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo decidir si una situación con un círculo tiene que ver con el área o la circunferencia.
  • Puedo usar las fórmulas de circunferencia y área del círculo para resolver problemas.

10.1 Llenemos el plato

¿Aproximadamente cuántas bolitas de queso caben en el plato en una solo capa? Prepárate para explicar tu razonamiento.

10.2 Clasificación de tarjetas: problemas de círculos

Tu profesor te dará tarjetas con preguntas sobre círculos.

  1. Clasifica las tarjetas en dos grupos con base en si usas la circunferencia o el área del círculo para responder la pregunta. Haz una pausa para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.
  2. Tu profesor te asignará una tarjeta para examinar más de cerca. ¿Qué información adicional necesitas para responder la pregunta en tu tarjeta?
  3. Estima las medidas del círculo en tu tarjeta.
  4. Usa tus estimaciones para calcular la respuesta a la pregunta.

10.3 Representación visual del problema del círculo

En la actividad anterior estimaste la respuesta a una pregunta sobre círculos.

Crea una representación visual que incluya:

  • La pregunta que resolviste
  • Un diagrama de un círculo marcado con las medidas que estimaste
  • Tu razonamiento, ordenado para que otros puedan entenderlo
  • Tu respuesta, expresada en términos de \pi y también expresada como una aproximación decimal

10.4 Analicemos afirmaciones sobre círculos

Estas son las respuestas de dos estudiantes a cada pregunta. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.

  1. ¿Cuántos pies recorre una persona dando una vuelta en el carrusel?

    Image of a person on a circular merry-go-round.
    • Clare dice, "El radio del carrusel es aproximadamente 4 pies, luego la distancia alrededor del borde es aproximadamente  8\pi pies".
    • Andre dice, "El diámetro del carrusel es aproximadamente 4 pies, luego la distancia alrededor del borde es aproximadamente  4\pi pies".

  2. ¿Cuánto espacio hay para esparcir crema sobre la galleta?

    Image of a plate of circular-shaped cookies.
    • Clare dice: "El radio de la galleta es aproximadamente 3 centímetros, luego el espacio para la crema es aproximadamente  6\pi  cm2".
    • Andre dice: "El diámetro de la galleta es aproximadamente 3 pulgadas, luego el espacio para la crema es aproximadamente  2.25\pi  in2".

  3. ¿Cuánto se mueve el monociclo cuando la rueda da 5 rotaciones completas?

    Image of a person on a unicyle.
    • Clare dice: "El diámetro de la rueda del monociclo es aproximadamente 0.5 metros. En 5 rotaciones completas se moverá aproximadamente \frac52\pi  m2".
    • Andre dice: "Estoy de acuerdo con la estimación del diámetro que hace Clare, pero eso significa que el monociclo se moverá aproximadamente  \frac{5}{4}\pi m".

¿Estás listo para más?

Una cabra (punto G ) está atada con una soga de 6 pies a la esquina de un establo. El piso del establo es un cuadrado, cada uno de sus lados mide 3 pies. El establo está cerrado y la cabra no puede entrar. El espacio alrededor del establo es plano, con césped, y la cabra no puede alcanzar otras estructuras u objetos. ¿Cuál es el área sobre la que la cabra puede pasear?

Resumen de la lección 10

Algunas veces necesitamos encontrar la circunferencia de un círculo y algunas veces necesitamos encontrar el área. Estos son algunos ejemplos de cantidades relacionadas con la circunferencia de un círculo:

  • La longitud de un camino circular.
  • La distancia que recorre una rueda después de una rotación completa.
  • La longitud de un pedazo de cuerda enrollada en un círculo.

Estos son algunos ejemplos de cantidades relacionadas con el área de un círculo:

  • La cantidad de tierra cultivada en un campo circular.
  • La cantidad de crema necesaria para cubrir la parte de arriba de un pastel.
  • El número de fichas necesarias para cubrir una mesa redonda.

En ambos casos, el radio (o diámetro) del círculo es todo lo que se necesita para hacer el cálculo. La circunferencia de un círculo con radio  r es 2\pi r y su área es \pi r^2 . La circunferencia se mide en unidades lineales (como cm, in, km), mientras que el área se mide en unidades cuadradas (como cm2, in2, km2).

Problemas de práctica de la lección 10

  1. En cada problema, decide si la circunferencia del círculo o el área del círculo es más útil para encontrar una solución. Explica tu razonamiento.

    1. Las ruedas de un automóvil giran a 1000 revoluciones por cada minuto. El diámetro de las ruedas es 23 pulgadas. Quieres saber qué tan rápido avanza el automóvil.

    2. Una mesa circular de cocina tiene un diámetro de 60 pulgadas. Quieres saber cuánta tela se necesita para cubrir la superficie de la mesa.

    3. Un rompecabezas circular tiene 20 pulgadas de diámetro. Todas las piezas tienen aproximadamente el mismo tamaño. Quieres saber cuántas piezas hay aproximadamente en el rompecabezas.

    4. Quieres saber aproximadamente cuánto tarda caminar alrededor de un estanque circular.

  2. La ciudad de Paris, Francia está completamente contenida dentro de una carretera casi circular que da la vuelta al borde. Usa el mapa con su escala para:​

    1. Estimar la circunferencia de Paris.

    2. Estimar el área de Paris.

    “Map of the city of Paris” por United States Census Bureau vía American Fact Finder. Dominio público.

  3. Este es el diagrama de un campo de sóftbol:

    1. ¿Aproximadamente qué tan larga es la cerca alrededor del campo?

    2. ¿Aproximadamente qué tan grande es la zona de los jardines?

    A quarter-circle that represents the diagram of a softball field. A small circlular-like region inside the quarter-circle is labeled "Infield" and a dashed line goes through the center of the circlular region connecting to two points on its edge is labeled 110 ft. The area outside of the circluar region is labeled "Outfield" and the horizontal base of the quarter-circle is labeled 250 ft.

  4. Durante la clase de matemáticas, Priya y Kiran piensan en dos maneras de razonar sobre las relaciones proporcionales que se muestran en la tabla. 

    x y
    2 ?
    5 1750

    Los dos estudiantes están de acuerdo en que pueden resolver la ecuación  5k = 1750 para encontrar la constante de proporcionalidad. 

    • Priya dice, "Puedo resolver esta ecuación dividiendo 1750 entre 5."
    • Kiran dice, "Puedo resolver esta ecuación multiplicando 1750 por \frac15 ."
    1. ¿Qué valor de k obtendría cada estudiante usando su propio método?
    2. ¿Cómo se relacionan los enfoques de Priya y Kiran?
    3. Explica cómo puede cada estudiante abordar el problema de resolver la ecuación  \frac23 k=50 .