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Lección 15Resolvamos desigualdades de forma eficiente

Resolvamos desigualdades más complicadas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo graficar las soluciones de una desigualdad en una recta numérica.
  • Puedo resolver desigualdades solucionando una ecuación relacionada y luego comprobando qué valores son soluciones de la desigualdad inicial.

15.1 Muchos negativos

Esta es una desigualdad: \text-x \geq \text-4 .

  1. Predice cómo crees que se verán las soluciones en la recta numérica. 
  2. Selecciona todos los valores que sean soluciones para \text-x \geq \text-4 : 
    1. 3
    2. -3
    3. 4
    4. -4
    5. 4.001
    6. -4.001
  3. Grafica las soluciones de la desigualdad en la recta numérica:

15.2 Desigualdades con tablas

  1. Investiguemos la desigualdad x-3>\text-2 .

    x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
    x-3 -7 -5 -1 1
    1. Completa la tabla. 
    2. ¿Para cuáles valores de x  es verdadero que x - 3 = \text-2 ? 
    3. ¿Para cuáles valores de x  es verdadero que x - 3 > \text-2 ? 
    4. Grafica las soluciones de  x - 3 > \text-2  en la recta numérica:

  2. Esta es una desigualdad: 2x<6 .

    1. Predice qué valores de x  harán verdadera la desigualdad 2x < 6 .

    2. Completa la tabla. ¿Coincide con tu predicción? 

      x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
      2x

    3. Grafica las soluciones de  2x < 6  en la recta numérica: 

  3. Esta es una desigualdad:  \text-2x<6 .

    1. Predice qué valores de x  harán verdadera la desigualdad \text-2x < 6 .

    2. Completa la tabla. ¿Coincide con tu predicción? 

      x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
      \text-2x

    3. Grafica las soluciones de  \text-2x < 6  en la recta numérica: 
    4. ¿En qué se diferencian las soluciones de 2x<6  de las soluciones de  \text-2x<6 ? 

15.3 ¿De qué lado están las soluciones?

  1. Investiguemos \text-4x + 5 \geq 25 .
    1. Resuelve  \text-4x+5 = 25 .
    2. ¿ \text-4x + 5 \geq 25 es verdadero cuando  x es 0? ¿Qué pasa cuando x es 7? ¿Que pasa cuándo x es -7?
    3. Grafica las soluciones de  \text-4x + 5 \geq 25 en la recta numérica.
  2. Investiguemos  \frac{4}{3}x+3 < \frac{23}{3} .
    1. Resuelve \frac43x+3 = \frac{23}{3} .
    2. ¿Si x es 0, es verdadero  \frac{4}{3}x+3 < \frac{23}{3} ?

    3. Grafica las soluciones de  \frac{4}{3}x+3 < \frac{23}{3} en la recta numérica.

  3. Resuelve la desigualdad  3(x+4) > 17.4 y representa gráficamente las soluciones en la recta numérica. 
  4. Resuelve la desigualdad \text-3\left(x-\frac43\right) \leq 6 y representa gráficamente las soluciones en la recta numérica.

¿Estás listo para más?

Escribe al menos tres desigualdades diferentes cuya solución sea x > \text-10 . Encuentra una con x  en el lado izquierdo que utilice un < .

Resumen de la lección 15

Esta es una desigualdad: 3(10-2x) < 18 . La solución a esta desigualdad son todos los valores que podrías usar en lugar de x  para hacer verdadera la desigualdad.    

Para resolverla, primero podemos solucionar la ecuación relacionada 3(10-2x) = 18  para obtener la solución x = 2 . Eso significa que 2 es el extremo entre los valores de x que hacen que la desigualdad sea verdadera y los valores que hacen que la desigualdad sea falsa.

Para resolver la desigualdad, podemos verificar números mayores que 2 y menores que 2 y ver cuáles de ellos hacen verdadera la desigualdad. 

Comprobemos un número que sea mayor que 2: x= 5 . Al reemplazar  x  con 5 en la desigualdad, obtenemos 3(10-2 \boldcdot 5) < 18  o simplemente 0 < 18 . Esto es verdadero, entonces x=5  es una solución. Esto significa que todos los valores mayores que 2 hacen verdadera la desigualdad. Podemos escribir las soluciones como x > 2  y también representar las soluciones en una recta numérica:

Observa que 2 en sí mismo no es una solución porque es el valor de x que hace que 3(10-2x) sea igual a 18 y, por lo tanto, no hace verdadera la desigualdad  3(10-2x) < 18 .    

Para confirmar que encontramos la solución correcta, también podemos probar un valor que sea menor que 2. Si probamos x=0 , obtenemos 3(10-2 \boldcdot 0) < 18  o simplemente 30 < 18 . Esto es falso, entonces x = 0  y todos los valores de x  que son menores que 2, no son soluciones.

Problemas de práctica de la lección 15

    1. Considera la desigualdad  \text-1 \leq \frac{x}{2} .
      1. Predice cuáles valores de  x harán verdadera la desigualdad.
      2. Completa la tabla para verificar tu predicción.
        x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
        \frac{x}{2}
    2. Considera la desigualdad 1 \leq \frac {\text{-}x}{2} .
      1. Predice cuáles valores de x harán verdadera la desigualdad.
      2. Completa la tabla para verificar tu predicción.
        x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
        \text-\frac{x}{2}

  2. Diego está resolviendo la desigualdad  100-3x \ge \text-50 . Él resuelve la ecuación 100-3x = \text-50 y obtiene  x=50 . ¿Cuál es la solución de la desigualdad? 

    1. x < 50
    2. x \le 50
    3. x > 50
    4. x \ge 50
  3. Resuelve la desigualdad \text-5(x-1)>\text-40 y grafica la solución en una recta numérica.

  4. Selecciona todos los valores de  x que hacen verdadera la desigualdad  \text-x+6\ge10 .

    1. -3.9
    2. 4
    3. -4.01
    4. -4
    5. 4.01
    6. 3.9
    7. 0
    8. -7

  5. Dibuja el conjunto solución de cada una de las siguientes desigualdades. 

    1. x>7

    2. x\geq\text-4.2

  6. El precio de un par de aretes es $22, pero Priya los compra en promoción por $13.20.

    1. ¿Cuánto se descontó del precio?
    2. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento?