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Lección 11Escribamos ecuaciones de rectas

Exploremos la relación entre los puntos sobre una recta y la pendiente de la recta.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo decidir si un punto está sobre una recta encontrando cocientes de distancias horizontales y verticales.

11.1 Coordenadas y longitudes en el plano de coordenadas

Encuentra cada uno de los siguientes valores y explica tu razonamiento:

  1. La longitud del segmento  BE .
  2. Las coordenadas de  E .

11.2 Qué queremos decir con una ecuación de una recta

En el plano de coordenadas se muestra la recta j .

  1. ¿Cuáles son las coordenadas  B y  D ?

  2. ¿El punto  (20,15) está sobre la recta  j ? Explica cómo lo sabes.

  3. ¿El punto  (100,75) está sobre la recta  j ? Explica cómo lo sabes.

  4. ¿El punto  (90,68) está sobre la recta  j ? Explica cómo lo sabes.

  5. Supón que conoces las coordenadas  x y  y de un punto. Escribe una regla que te permitiría probar si el punto está sobre la recta  j .

Line j is graphed in the coordinate plane with the origin labeled O. The numbers 1 through 10 are indicated on each axis. The line begins in quadrant 3 and slants upward and to the right passing through the point labeled A at zero comma zero, the point labeled B at 4 comma 3, and the point labeled D at 8 comma 6. Point C is also indicated at 4 comma zero.

11.3 Escribamos relaciones a partir de triángulos de pendiente

Estos son dos diagramas:


 
  1. Completa cada diagrama para que todos los segmentos horizontales y verticales tengan expresiones que representen sus longitudes. 
  2. Usa lo que sabes sobre triángulos semejantes para encontrar una ecuación para el cociente de las longitudes de los lados vertical y horizontal del \triangle DFE en cada diagrama.

¿Estás listo para más?

  1. Encuentra el área de la región sombreada sumando las áreas de los triángulos sombreados. 
  2. Encuentra el área de la región sombreada restando el área de la región no sombreada al triángulo grande. 
  3. ¿Qué está pasando aquí?

Resumen de la lección 11

Estos son los puntos  A , C y  E sobre la misma recta. Los triángulos ABC y ADE son triángulos de pendiente para la recta, así que sabemos que son triángulos semejantes. Usemos su semejanza para comprender mejor la relación entre x y y , que conforman las coordenadas del punto E .

A line graphed in the x y plane with the origin labeled O. The numbers negative 1 through 6 are indicated on the x axis and the numbers negative 1 through 8 are indicated on the y axis. The line begins in quadrant 3, slants upwards and to right passing through the point zero comma zero which is labeled A, the point one comma 2 which is labeled C, and the point x comma y which is labeled E. Point B is indicated directly below point C at one comma zero and point D is indicated directly below point E at x comma zero.

La pendiente para el triángulo ABC es  \frac{2}{1} porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. La pendiente que encontramos para el triángulo ADE es  \frac{y}{x} porque la longitud del lado vertical es  y y la longitud del lado horizontal es  x . Estas dos pendientes deben ser iguales porque son de triángulos de pendiente de la misma recta, y por lo tanto:  \frac{2}{1} = \frac{y}{x}

Como  \frac{2}{1} = 2 , significa que el valor de  y es el doble del valor de  x , es decir que  y= 2x . ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto (x,y) sobre la recta!

Estos son dos triángulos de pendiente diferentes. Podemos usar el mismo razonamiento para describir la relación entre x y  y para este punto  E .

A line graphed in the x y plane with the origin labeled O. The numbers negative 1 through 6 are indicated on the x axis and the numbers negative 1 through 8 are indicated on the y axis. The line begins in quadrant 3, slants upwards and to right passing through the point zero comma one which is labeled A, the point one comma 3 which is labeled C, and the point x comma y which is labeled E. Point B is indicated directly below point C at one comma one and point D is indicated directly below point E at x comma one. The distance between point a and point d is indicated by x and the distance between point D and point E is indicated by y minus 1.

La pendiente para el triángulo ABC es \frac{2}{1} porque la longitud del lado vertical es 2 y la longitud del lado horizontal es 1. Para el triángulo  ADE , la longitud del lado horizontal es  x . La longitud del lado vertical es  y-1 porque la distancia desde (x,y) hasta el eje  x es  y , pero el lado vertical del triángulo termina 1 unidad antes del eje  x . Entonces, la pendiente que encontramos para el triángulo  ADE es \frac{y-1}{x} . Las pendientes para los dos triángulos son iguales, lo que significa que: \frac{2}{1} = \frac{y-1}{x}

Como  y-1 es el doble de  x , otra manera de escribir esta ecuación es  y-1 = 2x . ¡Esta ecuación es verdadera para cualquier punto  (x,y) sobre la recta!

Problemas de práctica de la lección 11

  1. Para cada pareja de puntos, encuentra la pendiente de la recta que pasa por ambos puntos. Si tienes dificultades, intenta graficar los puntos en una hoja de papel cuadriculado y dibujar con una regla la recta que pasa por ellos. 

    1. (1,1) y  (7,5)
    2. (1,1) y (5,7)
    3. (2,5) y (\text-1,2)
    4. (2,5) y (\text-7,\text-4)

  2. La recta  \ell se muestra en el plano de coordenadas.

    1. ¿Cuáles son las coordenadas de  B y  D ?
    2. ¿El punto  (16,20) está sobre la recta \ell ? Explica cómo lo sabes.
    3. ¿El punto  (20,24) está sobre la recta \ell ? Explica cómo lo sabes.
    4. ¿El punto  (80,100) está sobre la recta \ell ? Explica cómo lo sabes.
    5. Escribe una regla que te permitiría verificar si  (x,y) está sobre la recta  \ell .

  3. Considera la recta que está graficada.

    Mai utiliza el triángulo A y dice que la pendiente de esta recta es  \frac{6}{4} . Elena utiliza el triángulo B y dice que no, que la pendiente de esta recta es 1.5. ¿Estás de acuerdo con alguna de ellas? Explica tu razonamiento.

  4. Un rectángulo tiene largo 6 y altura 4.

    ¿Cuál de estas características te diría que el cuadrilátero  ABCD definitivamente no es semejante a este rectángulo? Selecciona todas las que correspondan.

    1. AB=BC
    2. m{\angle ABC}=105^\circ
    3. AB=8
    4. BC=8
    5. BC=2 \boldcdot AB
    6. 2 \boldcdot AB=3 \boldcdot BC