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Lección 15Escribamos sistemas de ecuaciones

Escribamos sistemas de ecuaciones sobre situaciones del mundo real.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escribir un sistema de ecuaciones a partir de una situación del mundo real.

15.1 ¿Cuántas soluciones? Asociemos

Emparejen cada sistema de ecuaciones con el número de soluciones que tiene:

  1. \begin{cases} y=\text-\frac43x+4 \\ y = \text-\frac43x-1 \end{cases}
  2. \begin{cases} y=4x-5 \\ y = \text-2x+7 \end{cases}
  3. \begin{cases} 2x+3y = 8 \\ 4x+6y = 17 \end{cases}
  4. \begin{cases} y= 5x-15 \\ y= 5(x-3) \end{cases}
  1. Sin soluciones 
  2. Una solución 
  3. Infinitas soluciones

15.2 Situaciones y sistemas

Para cada situación:

  • Creen un sistema de ecuaciones.
  • Sin resolver el sistema, interpreten lo que la solución al sistema les permite saber sobre la situación.  
  1. La familia de Lin sale a dar un paseo en bicicleta. El papá de Lin se detiene para tomar una fotografía del paisaje y le dice al resto de la familia que continúen y que luego los alcanzará. Él tarda 5 minutos tomando la foto, y luego avanza a 0.24 millas por minuto hasta que se encuentra con el resto de la familia a lo largo del camino. Lin y los otros avanzaban a 0.18 millas por minuto.
  2. Noah está planeando un viaje en kayak. La agencia de renta de kayaks A cobra un precio base de $15 más $4.50 por hora. Mientras que la agencia de renta de kayaks B cobra un precio base de$12.50 más $5 por hora.
  3. Diego está haciendo una gran tanda de pasteles. Para esta receta, se requieren 3 fresas por cada manzana. Diego usó 52 frutas en total.
  4. La harina cuesta $0.80 por libra y el azúcar cuesta $0.50 por libra. Un pedido de harina y azúcar que pesa 15 libras, cuesta $9.00.

15.3 Practiquemos resolver sistemas

Estos son varios sistemas de ecuaciones:

  1. \begin{cases} y=\text-2x+6 \\ y=x-3 \end{cases}
  2. \begin{cases} y=5x-4 \\ y=4x+12 \end{cases}
  3. \begin{cases} y=\frac23x-4 \\ y=\text-\frac43x+9 \end{cases}
  4. \begin{cases} 4y + 7x = 6 \\ 4y+7x = \text-5 \end{cases}
  1. \begin{cases} y=0.24x\\ y=0.18x+0.9 \end{cases}
  2. \begin{cases} y=4.5x+15 \\ y=5x+12.5 \end{cases}
  3. \begin{cases} y=3x \\ x+y=52 \end{cases}
  1. Sin resolverlos, identifiquen 3 sistemas que crean que serían los menos difíciles de resolver y 3 sistemas que serían los más difíciles. Prepárense para explicar su razonamiento. 
  2. Elijan 4 sistemas para resolver. Al menos uno debe ser de su lista de "menos difíciles" y otro debe ser de su lista de "más difíciles".

Resumen de la lección 15

Hemos aprendido cómo resolver muchos tipos de sistemas de ecuaciones usando álgebra, ya que serían difíciles de resolver mediante la representación gráfica. Por ejemplo, veamos el siguiente sistema:

\begin{cases} y = 2x -3 \\ x+2y=7 \end{cases}

En la primera ecuación se tiene que  y=2x-3 , así que donde sea que veamos  y , podemos sustituirla con la expresión 2x-3 . Entonces, la segunda ecuación se convierte en x+2(2x-3) = 7 . 

Luego, podemos encontrar el valor para  x :

\begin{align} x + 4x-6 &= 7 && \text{propiedad distributiva} \\ 5x-6 &= 7 && \text{agrupar términos semejantes} \\ 5x &= 13 && \text{sumar 6 a cada lado} \\ x &= \frac{13}{5} && \text{multiplicar ambos lados por $\frac15$} \end{align}

Sabemos que el valor de y para la solución es el mismo en ambas ecuaciones, por lo que podemos usar cualquiera de las dos para encontrarlo. Por ejemplo, usemos la primera ecuación:

\begin{align} y &= 2\left(\frac{13}{5}\right)-3 &&\text{remplazar $x=\frac{13}{5}$ en la ecuación}\\ y &= \frac{26}{5}-3 &&\text{multiplicar $2\left(\frac{13}{5}\right)$ para obtener $\frac{26}5$}\\ y &=\frac{26}{5} - \frac{15}5 &&\text{escribir 3 como $\frac{15}5$}\\ y &= \frac{11}5 \end{align}

Si sustituimos x=\frac{13}5 en la otra ecuación, x+2y=7 , obtenemos el mismo valor de y . Entonces, la solución del sistema es \left(\frac{13}{5},\frac{11}5\right) .

Hay muchos tipos de sistemas de ecuaciones que aprenderemos a resolver en próximos grados escolares, como  \begin{cases} 2x+3y = 6 \\ \text-x+2y = 3 \end{cases} .

O incluso  \begin{cases} y = x^2 +1 \\ y = 2x+3 \end{cases} .

Problemas de práctica de la lección 15

  1. Kiran y su primo trabajan durante el verano para una empresa de jardinería. El primo de Kiran lleva trabajando más tiempo para la empresa, entonces su salario es 30% más que el de Kiran. La semana pasada su primo trabajó 27 horas y Kiran 23 horas. Entre los dos ganaron $493.85. ¿Cuál es el salario por hora de Kiran? Explica o muestra tu razonamiento.

  2. Decide cuál de las dos historias se puede representar con el sistema de ecuaciones  y=x+6 y x+y=100 . Explica tu razonamiento.

    1. El profesor de Diego hace un examen que vale 100 puntos. Hay 6 preguntas más de opción múltiple que de respuestas cortas.  
    2. Lin y su primo más joven miden su estatura. Ellos observan que Lin es 6 pulgadas más alta, y la estatura total de los dos suma exactamente 100 pulgadas.   

  3. Clare y Noah están participando en un juego en el que ambos ganan el mismo número de puntos por cada gol y pierden el mismo número de puntos por cada penalización. Clare hace 6 goles y obtiene 3 penalizaciones, por lo que termina el juego con 6 puntos. Noah hace 8 goles y obtiene 9 penalizaciones, él termina el juego con  \text-22 puntos.

    1. Escribe un sistema de ecuaciones que describa los resultados de Clare y Noah. Usa x para representar el número de puntos con los goles y  y para representar el número de puntos por las penalizaciones.

    2. Resuelve el sistema. ¿Qué significa la solución que encontraste? 

  4. Resuelve: \begin{cases} y=6x-8 \\ y=\text-3x+10 \\ \end{cases}

    1. Estima las coordenadas del punto en el que se cruzan las rectas.  

    2. Elige dos ecuaciones que conformen el sistema representado por la gráfica.

      1. y=\frac54x

      2. y=6-2.5x

      3. y=2.5x+6

      4. y=6-3x

      5. y=0.8x

    3. Resuelve el sistema de ecuaciones y verifica qué tan precisa es tu estimación.