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Lección 13El volumen de un cilindro

Exploremos cilindros y sus volúmenes.

Metas de aprendizaje:

  • Conozco la fórmula para el volumen de un cilindro.
  • Puedo determinar el volumen de un cilindro en situaciones matemáticas y del mundo real.

13.1 Dimensiones de un círculo

A circle with the center labeled A. Points B, C, and D lie on the circle, where B is to the right of A, C is to the left of A, and point D is above and to the left of A. A line segment is drawn from A to D and is labeled 4. Another line segment is drawn from B to C such that the segment goes through A.

Este es un círculo. Están dibujados los puntos A , B , C y D , y los segmentos AD y BC .

  1. ¿Cuál es el área del círculo, en unidades cuadradas? Selecciona todas las que apliquen.
    1. 4\pi
    2. \pi 8
    3. 16\pi
    4. \pi 4^2
    5. Aproximadamente 25
    6. Aproximadamente 50
  2. Si el área de un círculo es 49\pi unidades cuadradas, ¿cuál es su radio? Explica tu razonamiento.

13.2 Volúmenes circulares

¿Cuál es el volumen de cada figura, en unidades cúbicas? Incluso si no estás seguro, intenta hacer una conjetura razonable.

  1. Figura A: A es un prisma rectangular cuya base tiene un área de 16 unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.
  2. Figura B: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16 \pi unidades cuadradas y cuya altura es 1 unidad.
  3. Figura C: A es un cilindro cuya base tiene un área de 16 \pi unidades cuadradas y cuya altura es 3 unidades.

¿Estás listo para más?

prisma prisma prisma cilindro
base: cuadrado base: hexágono base: octágono base: círculo

Estos sólidos están relacionados por una medida común. En cada uno de estos sólidos, la distancia del centro de la base al borde más lejano de la base es 1 unidad, y la altura del sólido es 5 unidades. Usa 3.14 como una aproximación para \pi para resolver estos problemas.

  1. Determina el área de la base cuadrada y de la base circular.
  2. Usa estas áreas para calcular los volúmenes del prisma rectangular y del cilindro. ¿Cómo se relacionan?
  3. Sin hacer cálculos, haz una lista de las figuras de menor a mayor de acuerdo a su volumen. Usa las imágenes y tu conocimiento de polígonos para explicar tu razonamiento.
  4. El área del hexágono es aproximadamente 2.6 unidades cuadradas y el área del octágono es aproximadamente 2.83 unidades cuadradas. Usa estas áreas para calcular los volúmenes de los prismas con el hexágono y el octágono como bases. ¿Qué tanto coincide esto con tu razonamiento en la pregunta anterior?

13.3 Las dimensiones de un cilindro

  1. En los cilindros A al D, dibuja un radio y la altura. Etiqueta el radio con una r y la altura con una h .

    A collection of six cylinder images labeled "A" through "F". Image "A" is the drawing of a cylinder that lies on its bottom base; Image "B" is the drawing of solid, green cylinder tilted to the right; Image "C" is an image of an oatmeal container in the shape of a cylinder; Image "D" is the drawing of a cylinder that lies on its rectangular face; Image "E" is an image of a tanker, 18-wheeler truck which in the shape of a cylinder Image "F" is an image of a farm grain silo that is in the shape of a cylinder.
    “Volvo water tank truck in Iraq” por Jum Gordon vía Wikimedia Commons. Dominio público.
  2. Ya has aprendido cómo dibujar un cilindro. Dibuja cilindros para E y F, y etiqueta el radio y la altura de cada uno.

13.4 El volumen de un cilindro

  1. Este es un cilindro con altura de 4 unidades y diámetro de 10 unidades.

    A right circular cylinder with a height of 4 and a diameter of 10.
    1. Sombreen la base del cilindro.
    2. ¿Cuál es el área de la base del cilindro? Expresen su respuesta en términos de \pi .
    3. ¿Cuál es el volumen de este cilindro? Expresen su respuesta en términos de \pi .
  2. Un silo es un recipiente cilíndrico que se usa en las granjas para mantener grandes cantidades de productos, tales como granos. En una granja en particular, un silo tiene una altura de 18 pes y diámetro de 6 pies. Hagan un dibujo de este silo y etiqueten su altura y radio. ¿Cuántos pies cúbicos de granos puede contener este silo? Usen 3.14 como una aproximación para  \pi .

¿Estás listo para más?

Una manera de construir un cilindro es tomar un rectángulo (por ejemplo, una hoja de papel), enrollar dos bordes opuestos juntos y pegarlos en su lugar.

¿Qué te daría un cilindro con mayor volumen: pegar los dos bordes punteados juntos o pegar los dos lados continuos juntos?

Resumen de la lección 13

Se puede determinar el volumen de un cilindro con radio r y altura h usando dos ideas que se han estudiando antes:

  • El volumen de un prisma rectangular es el resultado de multiplicar el área de su base por su altura.
  • La base del cilindro es un círculo con radio r , así que el área de la base es \pi r^2 .

Recordar que \pi es el número que se obtiene cuando se divide la circunferencia de cualquier círculo entre su diámetro. El valor de \pi es aproximadamente 3.14.

De la misma manera que con un prisma rectangular, el volumen de un cilindro es el área de su base multiplicada por su altura. Por ejemplo, se toma un cilindro cuyo radio es 2 cm y cuya altura es 5 cm.

A drawing of a cylinder whose radius is 2 and height is 5.

La base tiene un área de 4\pi cm2 (ya que \pi\boldcdot 2^2=4\pi ), así que el volumen es 20\pi cm3 (ya que 4\pi \boldcdot 5 = 20\pi ). Al usar 3.14 como una aproximación para \pi , se puede decir que el volumen del cilindro es aproximadamente 62.8 cm3.

En general, la base de un cilindro con radio r unidades tiene un área  \pi r^2 unidades cuadradas. Si la altura es h unidades, entonces el volumen V en unidades cúbicas es V=\pi r^2h

Problemas de práctica de la lección 13

  1. Empareja cada conjunto de datos sobre un círculo con el área de ese círculo.

    1. El círculo A tiene un radio de 4 unidades.
    2. El círculo B tiene un radio de 10 unidades.
    3. El círculo C tiene un diámetro de 16 unidades.
    4. El círculo D tiene una circunferencia de  4\pi unidades.
    1. 4\pi unidades cuadradas
    2. Aproximadamente 314 unidades cuadradas
    3. 64\pi unidades cuadradas
    4. 16\pi unidades cuadradas
    1. Esboza un cilindro.
    2. Etiqueta su radio como 3 y su altura como 10.
    3. Sombrea una de sus bases.

  3. En una granja, los animales se alimentan con pacas de heno y cubetas de granos. Cada paca de heno tiene la forma de un prisma rectangular. La base tiene lados de longitud 2 pies y 3 pies, y la altura es 5 pies. Cada cubeta de grano es un cilindro con un diámetro de 3 pies. La altura de la cubeta es 5 pies, lo mismo que la altura de la paca.

    1. ¿Cuál tiene un área mayor, la base rectangular de la paca o la base circular de la cubeta? Explica cómo lo sabes.

    2. ¿Cuál tiene un volumen mayor, la paca o la cubeta? Explica cómo lo sabes.

  4. Tres cilindros tienen una altura de 8 cm. El cilindro 1 tiene un radio de 1 cm. El cilindro 2 tiene un radio de 2 cm. El cilindro 3 tiene un radio de 3 cm. Encuentra el volumen de cada cilindro.

  5. Un recipiente de un cuarto de galón de sopa de tomate tiene la forma de un prisma rectangular. Un tazón de sopa con la forma de un hemisferio puede contener 8 oz de líquido. ¿Cuántos tazones de sopa llenará el recipiente? Recuerda que 1 cuarto de galón es equivalente a 32 onzas de líquido (oz).

  6. Dos estudiantes entran a un club de resolución de rompecabezas y se vuelven más rápidos para terminar los rompecabezas a medida que practican más. El estudiante A mejora sus tiempos más rápido que el estudiante B.

    1. Empareja los estudiantes con las rectas \ell y m .
    2. ¿Cuál estudiante era más rápido en la resolución de rompecabezas antes de la práctica?