Open Up Resources Logo

Lección 15Expansiones decimales infinitas

Pensemos en decimales infinitos.

Metas de aprendizaje:

  • Entiendo que todos los números tienen una expansión decimal.
  • Puedo escribir un decimal que se repite como una fracción.

15.1 Busquemos dígitos

Se han calculado los primeros 3 dígitos después del punto decimal para la expansión decimal de \frac37 . Halla los siguientes 4 dígitos.

Long division calculations for decimal expansion, showing place value. The first line indicates the given place values of the quotient, 0 point 4 2 8. The second line indicates the division sentence 3 divided by 7; the number 7 is the left most number, followed by the long division symbol, and the number 3 inside; the 3 lines up vertically with the 0 above. On the third line reads as "minus twenty eight," with the 2 directly below the 3 from above. The fourth line reads "twenty," with the 2 directly below the 8 in 28. The fifth line reads "minus fourteen," with the 1 directly below the 2 in 20 and the 4 directly below the 0 in 20. The sixth line reads "sixty," with the 6 directly below the 4 in 14. The seventh line reads "minus fifty six" with the 5 directly below the 6 in 60, and the 6 directly below the 0 in 60. The eight line reads "4" with the 4 directly below the 6 in 56. A vertical line is drawn through all of the lines, falling between the 0 and the 4 in "0 point four two eight" and the 2 and 8 in twenty eight.

15.2 Algunos números son racionales

El profesor le dará a tu grupo un juego de tarjetas. Cada tarjeta tendrá un lado con cálculos y un lado con una explicación.

  1. Las tarjetas muestran el trabajo de Noah para calcular la representación de 0.4\overline{85} en forma de fracción. Organiza estas tarjetas en orden para ver cómo él descubrió que 0.4\overline{85} = \frac{481}{990} sin necesidad de una calculadora.

  2. Usa el método de Noah para calcular la representación en forma de fracción de:

    1. 0.1\overline{86}
    2. 0.7\overline{88}

¿Estás listo para más?

Utiliza esta técnica para hallar representaciones en forma de fracción para  0.\overline{3} y para 0.\overline{9} .

15.3 Algunos números no son racionales

    1. ¿Por qué \sqrt{2} está entre 1 y 2 en la recta numérica?
    2. ¿Por qué \sqrt{2} está entre 1.4 y 1.5 en la recta numérica?
    3. ¿Cómo puedes determinar una aproximación para  \sqrt{2} que tenga una precisión de hasta 3 cifras decimales?

    4. Etiqueta todas las marcas. Ubica  \sqrt{2} en las tres rectas numéricas. Asegúrate de agregar flechas desde la segunda hacia la tercera recta numérica.

      A zooming number line consisting of 3 number lines, aligned vertically, each with 11 evenly spaced tick marks. On the first number line, the first tick mark is labeled "1" and the eleventh tick mark is labeled "2." Two arrows are drawn from the first number line to the second number line. The first arrow is drawn from the fifth tick mark on the first number line to the first tick mark on the second number line. The second arrow is drawn from the sixth tick mark on the first number line to the eleventh tick mark on the second number line. There are no numbers indicated on the second number line. The third number line is unlabeled.
    1. Elena observa que un vaso de laboratorio de la clase de ciencias dice que tiene un diámetro de 9 cm y ella mide su circunferencia que resulta ser 28.3 cm. ¿Qué valor obtienes para \pi utilizando estos valores y la ecuación de circunferencia,  C=2\pi r ?
    2. Diego supo que uno de los tanques de combustible de un transbordador espacial tiene un diámetro de 840 cm y una circunferencia de 2,639 cm. ¿Qué valor obtienes para \pi utilizando estos valores y la ecuación de circunferencia,  C=2\pi r ?

    3. Etiqueta todas las marcas en las rectas numéricas. Utiliza una calculadora para obtener una aproximación muy precisa de  \pi y ubica ese número en las tres rectas numéricas.

      A zooming number line consisting of 3 number lines, aligned vertically, each with 11 evenly spaced tick marks. On the top number line, the first tick mark is labeled "3" and the eleventh tick mark is labeled "4." Two arrows are drawn from the top number line to the middle number line. The first arrow is drawn from the second tick mark on the top number line to the first tick mark on the middle number line. The other arrow is drawn from the third tick mark on top number to the eleventh tick mark on the middle number line. On the middle number line, the first tick mark is labeled "3 point 1" and the eleventh tick mark is labeled "3 point 2." Two arrows are drawn from the middle number line to the bottom number line. The first arrow is drawn from the fifth tick mark on the middle number line to the first tick mark on the bottom number line. The other arrow is drawn from the sixth tick mark on the middle number line to the eleventh tick mark on the bottom number line. The bottom number line is not labeled.
       
    4. ¿Cómo puedes explicar las diferencias entre estos cálculos de  \pi ?

Resumen de la lección 15

No todos los números son racionales. Anteriormente tratamos de hallar una fracción que, al elevarla al cuadrado, fuera igual a 2. Eso resulta ser imposible, aunque podemos estar bastante cerca (trata de elevar  \frac75 al cuadrado). Como no hay una fracción que sea igual a  \sqrt{2} , éste no es un número racional, por lo que lo llamamos un número irracional. Otro número irracional conocido es  \pi .

Cualquier número, racional o irracional, tiene una expansión decimal. A veces continúa indefinidamente. Por ejemplo, el número racional  \frac{2}{11} tiene la expansión decimal  0.181818 . . . , en la que los 18 se repiten indefinidamente. Todos los números racionales tienen una expansión decimal que se termina en algún punto o termina en un patrón que se repite, como  \frac2{11} . Los números irracionales también tienen expansiones decimales infinitas, pero no terminan en un patrón que se repite. Desde el punto de vista decimal, podemos ver que los números racionales son bastante especiales. La mayoría de los números son irracionales, aunque los números que usamos a diario a menudo son racionales.

Problemas de práctica de la lección 15

  1. Elena y Han discuten cómo escribir el decimal que se repite  x = 0.13\overline{7} como una fracción. Han dice que 0.13\overline{7} es igual a  \frac{13764}{99900} . "Calculé  1000x = 137.77\overline{7} porque el decimal se empieza a repetir después de 3 dígitos. Luego resté para obtener  999x = 137.64 . Luego, multipliqué por 100 para deshacerme del decimal:  99900x = 13764 . Y finalmente dividí para obtener  x = \frac{13764}{99900} ". Elena dice que 0.13\overline{7} es igual a \frac{124}{900} . "Calculé  10x = 1.37\overline{7} porque un dígito se repite. Luego, resté para obtener 9x = 1.24 . Luego, hice lo mismo que Han para obtener 900x = 124 y x = \frac{124}{900} ".

    ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

  2. ¿En qué se parecen los números  0.444 y 0.\overline{4} ? ¿En qué se diferencian?

    1. Escribe cada fracción como un decimal.

      1. \frac{2}{3}

      2. \frac{126}{37}

    2. Escribe cada decimal como una fracción.

      1. 0.\overline{75}

      2. 0.\overline{3}

  4. Escribe cada fracción como un decimal.

    1. \frac{5}{9}

    2. \frac{5}{4}

    3. \frac{48}{99}

    4. \frac{5}{99}

    5. \frac{7}{100}

    6. \frac{53}{90}

  5. Write each decimal as a fraction.

    1. 0.\overline{7}

    2. 0.\overline{2}

    3. 0.1\overline{3}

    4. 0.\overline{14}

    5. 0.\overline{03}

    6. 0.6\overline{38}

    7. 0.52\overline{4}

    8. 0.1\overline{5}

  6. 2.2^2 = 4.84 y 2.3^2 = 5.29 . Esto da cierta información sobre \sqrt 5 .

    Sin calcular directamente la raíz cuadrada, ubica a \sqrt{5} sobre las tres rectas numéricas utilizando una aproximación sucesiva.

    A zooming number line that is composed of 3 number lines, aligned vertically, each with 11 evenly spaced tick marks. On the top number line, the first tick mark is labeled "2" and the eleventh tick mark is labeled "3." Two arrows are drawn from the top number line to the middle number line; one arrow is drawn from the third tick mark on the top number line to the first tick mark on the middle number line. The other arrow is drawn from the fourth tick mark on top number to the eleventh tick mark on the middle number line. On the middle number line, the first tick mark is labeled "2 point 2" and the eleventh tick mark is labeled "2 point 3." Two arows are drawn from the middle number line to the bottom number line; one arrow is drawn from the fourth tick mark on the middle number line to the first tick mark on the bottom number line. The other arrow is drawn from the fifth tick mark on the middle number line to the eleventh tick mark on the bottom number line. The bottom number line has no numbers indicated.