Lección 10 Centros de un triángulo Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Analizar las propiedades de las medianas, las bisectrices y las mediatrices de los triángulos.

Construir el centro de un círculo que pase por los tres vértices de un triángulo y el centro de un círculo que se pueda trazar en un triángulo de modo que toque los tres lados.

Construir el “punto de equilibrio” de un triángulo.

Dado cualquier triángulo, ¿se puede dibujar un círculo que pase por los tres vértices del triángulo? ¿Se puede dibujar un círculo que sea tangente a los tres lados del triángulo? Si es así, ¿cómo encontramos el centro de esos círculos?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

Los padres de Kolton, Kevin y Kara les pidieron ayuda a sus hijos para resolver algunos problemas geométricos interesantes.

Problema de Kolton

El padre de Kolton instala sistemas de riego para los granjeros. Los sistemas que instala se llaman “sistemas de riego de pivote central”. Funcionan con unos aspersores que están en un tubo largo que gira sobre unas ruedas, alrededor de un punto central, y riega una región circular de cultivos. Es posible que desde un avión hayas visto estos “círculos en los cultivos”.

A veces, el padre de Kolton tiene que instalar los sistemas de riego en terrenos triangulares. Él quiere ubicar el “pivote central” en el terreno triangular de tal manera que el círculo de terreno regado toque cada una de las cercas que encierran el terreno. Como Kolton estudia actualmente geometría en la escuela, su padre le pidió que lo ayudara con este problema.

Problema de Kara

El padre de Kara instala torres de comunicaciones para celulares. Como las señales de los teléfonos rebotan de una torre a otra, las torres deben ubicarse cuidadosamente. A veces, el padre de Kara necesita ubicar una torre nueva de tal manera que sea equidistante de otras tres torres. Él se imagina que las tres torres ya instaladas son como los vértices de un triángulo. En ese sentido, debe encontrar un punto en ese triángulo donde pueda ubicar la torre nueva de tal manera que sea equidistante de las otras tres torres. Como Kara también estudia geometría en la escuela, su padre le pidió que lo ayudara con este problema.

Problema de Kevin

El padre de Kevin es un artista. La ciudad lo contrató para construir un proyecto artístico en el parque. Su propuesta consta de varias pirámides grandes con triángulos de distintas formas puestos en equilibrio sobre los vértices de las pirámides. El padre de Kevin debe encontrar el punto dentro de un triángulo que llama “el punto de equilibrio”. Le pidió a Kevin que usara su conocimiento de geometría para ayudarlo a resolver este problema.

El profesor de Geometría de Kolton, Kevin y Kara les sugirió que intentaran ubicar los puntos en el interior de los triángulos donde se intersecan las tres medianas, las tres bisectrices o las tres mediatrices.

1.

Intenta hacer el experimento que sugiere el profesor de Geometría de los estudiantes. En cada problema, ¿cuál grupo de segmentos de recta se interseca en un punto del triángulo que parece satisfacer las necesidades del padre? (Tu profesor te dará algunas herramientas para ayudarte en esta exploración).

Kolton, Kevin y Kara observaron algo interesante acerca de estos grupos de segmentos de recta. Para su sorpresa, se dieron cuenta de que las tres medianas de un triángulo se intersecan en un punto común. De igual manera, las tres alturas también se intersecan en un punto común, y lo mismo ocurre con las tres bisectrices y las tres mediatrices. Creen que sus observaciones les parecerán interesantes a sus padres, pero antes quieren comprobar que son verdaderas para cualquier triángulo, y no solo para los que han usado en sus experimentos. Las siguientes notas y diagramas sugieren cómo piensa cada uno en la demostración que quiere mostrar a su padre. Usa estas notas y diagramas para escribir una demostración convincente.

Notas de Kolton

Lo que hice para crear este diagrama:

Construí las bisectrices del ángulo $A C B$ y del ángulo $A B C$ . Encontré que se intersecan en el punto $P$ . Para no confundirme con tantas rectas en mi diagrama, borré los rayos que forman las bisectrices después del punto de intersección. Luego, dibujé un rayo $A H$ que pasa por el punto $P$ , la intersección de las dos bisectrices.

Mi pregunta es: “¿Este rayo biseca el ángulo $C A B$ ?”. Mientras pensaba en esta pregunta, observé que había creado tres triángulos más pequeños dentro del triángulo original. Construí las alturas de estos tres triángulos (las dibujé como rectas punteadas). Al dibujar las alturas, comencé a ver cometas en mi dibujo. Me pregunto si pensar en los triángulos más pequeños o en las cometas me ayudará a demostrar que el rayo $A H$ biseca el ángulo $C A B$ .

2.

Completa el argumento de Kolton:

Notas de Kara

Lo que hice para crear este diagrama:

Construí las mediatrices del lado $A C$ y del lado $B C$ . Encontré que se intersecan en el punto $P$ . Para no confundirme con tantas rectas en mi diagrama, borré los rayos que forman las mediatrices después del punto de intersección. Luego, construí una recta perpendicular al lado $A B$ , que pasa por el punto $P$ , la intersección de las dos mediatrices. Llamé $H$ al punto donde esta recta interseca el lado $A B$ .

Mi pregunta es: “¿Esta recta perpendicular también biseca el lado $A B$ ?”. Mientras pensaba en este pregunta, observé que había creado algunos cuadriláteros dentro del triángulo original. Como los cuadriláteros en general no tienen muchas propiedades interesantes, decidí hacer algunos triángulos dibujando segmentos de recta punteados desde el punto $P$ hasta cada uno de los vértices del triángulo original. Me pregunto si pensar en estos triángulos más pequeños me ayuda a demostrar que la recta $P H$ biseca el lado $A B$ .

3.

Completa el argumento de Kara:

¿Listo para más?

Notas de Kevin

Lo que hice para crear este diagrama:

El punto $M$ es el punto medio del lado $A C$ y el punto $N$ es el punto medio del lado $C B$ . Por lo tanto, los segmentos $\overset{―}{A N}$ y $\overset{―}{B M}$ son medianas del triángulo. Dibujé el rayo $C F$ que pasa por el punto $P$ , la intersección de las dos medianas. Mi pregunta es: “¿Este rayo contiene a la tercera mediana?”. Debo encontrar una forma de responder esa pregunta.

Mientras pensaba, supuse que podía visualizar un paralelogramo con sus diagonales, así que dibujé la recta $G B$ de tal modo que fuera paralela a la mediana $A N$ . Luego uní el vértice $A$ con el punto $G$ que está sobre el rayo. El cuadrilátero $A G B P$ se parece a un paralelogramo, pero no estoy seguro de que lo sea. Me pregunto si esto me ayudará con mi pregunta acerca de la tercera mediana. ¿Qué piensas?

Completa el argumento de Kevin:

(Pista: En su demostración, Kevin usa triángulos semejantes. Los ángulos correspondientes de los triángulos semejantes son congruentes. ¿Puedes encontrar un par de triángulos que sepas que son semejantes? ¿Puedes encontrar un par de triángulos que puedas demostrar que son semejantes?). En la unidad 6 vas a trabajar con triángulos semejantes. Si te ayuda, repasa este problema cuando trabajes en esa unidad.

Aprendizajes

Dado cualquier triángulo, se puede dibujar un círculo que pase por los tres vértices del triángulo.

Para ubicar el centro del círculo,

Dado cualquier triángulo, se puede dibujar un círculo que sea tangente a los tres lados del triángulo.

Para ubicar el centro del círculo,

Dado cualquier triángulo, se puede encontrar un punto de equilibrio en el triángulo.

Para ubicar el punto de equilibrio,

Notación, convenciones y vocabulario

Cuando tres o más rectas o segmentos de recta se encuentran en un punto, se dice que son . Esto es menos común y requiere más restricciones que cuando solo dos rectas se intersecan. El punto donde el grupo de tres o más rectas o segmentos de recta se encuentran se llama el .

Si este punto es formado por las tres bisectrices de un triángulo, también se conoce como el , ya que da la ubicación del centro de un círculo que puede ser en el triángulo, es decir, un círculo que es tangente (solo toca) a los tres lados del triángulo.

Si este punto es formado por las tres mediatrices de un triángulo, se llama el , ya que da la ubicación de un círculo que puede ser alrededor del triángulo, es decir, un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo.

El punto de equilibrio de un triángulo se conoce como el .

Vocabulario

centroide
circuncentro
circunscribir con un círculo
incentro
inscrito en un círculo
punto de concurrencia
recta secante (en un círculo), recta tangente
rectas concurrentes
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección descubrimos que las tres medianas de un triángulo son concurrentes, lo que quiere decir que todas se encuentran en el mismo punto en el interior del triángulo. También descubrimos que las tres bisectrices de un triángulo son concurrentes, así como las tres mediatrices. Estos puntos de concurrencia se llaman “centros de un triángulo”, ya que dan la ubicación de los puntos notables en el interior o en el exterior del triángulo. Por ejemplo, el punto de equilibrio o los centros de los círculos que tocan los tres lados del triángulo o que pasan por sus tres vértices.

Repaso

Usa el diagrama del paralelogramo para encontrar las medidas indicadas.

1.

$D E$

2.

$m ∠ C G F$

3.

$m ∠ C E F$

4.

$D G$