Lección 10 Usemos las relaciones trigonométricas Practico lo que aprendí

Focos de aprendizaje

Resolver problemas de aplicación usando trigonometría.

¿Cómo uso las razones trigonométricas para resolver problemas prácticos?

¿Cuáles son los elementos más importantes al modelar contextos de la vida real con un triángulo rectángulo, incluso cuando el triángulo rectángulo es imaginario?

Descubramos las matemáticas: Introducción, Exploración, Discusión

En cada problema:

Haz un dibujo para representar la situación.
Escribe una ecuación.
Resuelve el problema (debes incluir las unidades de medida).

1.

Carrie pone una escalera de $10$ pies contra una pared. Si la escalera forma un ángulo de $65 °$ con el suelo, ¿a qué altura está el extremo superior de la escalera en la pared?

2.

El asta de una bandera produce una sombra que mide $15 pies$ de largo. En ese momento, el ángulo de elevación del sol mide $40 °$ . ¿Cuál es la altura del asta?

3.

En el Sur de California hay una sección de 6 millas de la autopista Interestatal 5 que decrece $2,500 pies$ en elevación al descender por la colina Grapevine en el Puerto del Tejón. ¿Cuál es el ángulo de descenso?

Haz una pausa y reflexiona

4.

Un globo de aire caliente está a una altura de $600 pies$ y pronto aterrizará. El globo desciende a una razón de $40 pies por minuto$ . Sarah conduce sobre un terreno irregular a una velocidad de $10 millas por hora$ para llegar al punto donde el globo aterrizará. Si al comienzo, cuando el globo está a $600 pies$ , Sarah ve el globo a un ángulo de elevación de $20 °$ , ¿a qué distancia está Sarah del punto de aterrizaje? ¿Quién llegará primero al punto de aterrizaje: Sarah o el globo?

5.

Un avión desciende para aterrizar en el aeropuerto. Si el ángulo de depresión desde el avión hasta el suelo mide $7 °$ y la altura del avión es $6,000 pies$ , ¿a qué distancia está el avión del aeropuerto?

6.

Michelle está a $60$ pies de un edificio. El ángulo de elevación hasta la cima del edificio mide $41 °$ . ¿Cuál es la altura del edificio?

7.

Se usa una rampa para cargar equipos de un muelle a un barco. La rampa mide $10 pies$ de largo y el barco está $6 pies$ más arriba que el muelle. ¿Cuál es el ángulo de elevación de la rampa?

Encuentra todas las medidas desconocidas de los lados y de los ángulos de cada triángulo rectángulo:

8.

9.

10.

11.

12.

Dibuja y encuentra las medidas desconocidas de los ángulos de un triángulo rectángulo con lados de $6$ , $8$ y $10$ .

Encuentra los valores de las dos razones trigonométricas que faltan si te dan una de las razones trigonométricas. También encuentra las medidas de los ángulos agudos del triángulo.

13.

$\cos (α) = \frac{3}{5}$

14.

$\tan (θ) = \frac{8}{3}$

15.

$\sin (β) = \frac{4}{7}$

¿Listo para más?

Compara y contrasta dos métodos diferentes para responder problemas como los problemas del 13 al 15.

Usa ambos métodos para encontrar $\cos (A)$ y $\tan (A)$ , si $\sin (A) = \frac{2}{3}$ .

1.

Un método consiste en crear un “triángulo de referencia” con la información dada en la razón trigonométrica.

Dado que: $\sin (A) = \frac{2}{3}$

$\cos (A) =$

$\tan (A) =$

2.

Otro método consiste en usar las identidades trigonométricas que aprendimos en esta unidad, como $\sin^{2} (A) + \cos^{2} (A) = 1$ o $\tan (A) = \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$ .

Si usamos identidades trigonométricas:

$\cos (A) =$

$\tan (A) =$

Aprendizajes

Vocabulario

modelo matemático
Los términos en negrita son nuevos en esta lección.

Resumen de la lección

En esta lección aprendimos sobre el proceso de modelación y usamos trigonometría para modelar distintos tipos de situaciones de aplicación, incluso cuando los triángulos rectángulos no surgían de manera natural. Los triángulos rectángulos sirvieron para representar situaciones, y por eso pudimos usar razones trigonométricas y relaciones trigonométricas inversas en contextos de construcción, aviación y transporte, entre otros.

Repaso

1.

Encuentra los valores desconocidos de los triángulos rectángulos semejantes.

2.

Una tranca de puerta se usa como una cuña entre el piso y la puerta para mantenerla abierta. La tranca tiene un ángulo de elevación de $11 °$ y una altura de $1$ pulgada. ¿Cuál debe ser la longitud del lado inferior de la tranca? Haz un dibujo de la situación y encuentra el valor que se pide.