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Lección 6Usar diagramas para encontrar el número de grupos

Dibujemos diagramas de cinta para pensar en la división con fracciones. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar un diagrama de cinta para representar grupos del mismo tamaño y encontrar el número de grupos.

6.1 ¿Cuántos de estos hay en eso?

  1. Podemos pensar en la expresión de división  10 \div 2\frac12 como la respuesta a la pregunta: "¿Cuántos grupos de  2\frac 12  hay en 10?". Completa el diagrama de cinta para representar la pregunta. Luego, responde la pregunta. 
  2. Completa el diagrama de cinta para representar la pregunta: "¿Cuántos grupos de 2 hay en 7?". Luego, responde la pregunta.

6.2 Representar grupos de fracciones con diagramas de cinta

Para darle sentido a la pregunta "¿Cuántos  \frac 23  hay en 1?", Andre escribió ecuaciones y dibujó un diagrama de cinta. 

{?} \boldcdot \frac 23 = 1

1 \div \frac 23 = {?}

A tape diagram with three equal parts. The first two parts are shaded and are each labeled one third. Above the tape diagram is a bracket labeled 1, and contains all three parts. Below the diagram there is a bracket labeled "1 group of two thirds," and contains the first two parts.

  1. En una tarea anterior, usamos fichas geométricas como ayuda para resolver la ecuación  1 \div \frac 23 = {?} . Explica cómo el diagrama de cinta de Andre también nos puede ayudar a resolver la ecuación. 

  2. Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para cada una de las siguientes preguntas. Dibuja un diagrama de cinta para encontrar la solución. Si es necesario, usa la cuadrícula como ayuda para dibujar. 

    1. ¿Cuántos \frac 34  hay en 1?
      A blank grid with a height of 7 units and length of 16 units.
    2. ¿Cuántos \frac23  hay en 3?
      A blank grid with a height of 7 units and length of 16 units.
    3. ¿Cuántos  \frac32  hay en 5?
      A blank grid with a height of 7 units and length of 16 units.

6.3 Encontremos el número de grupos

  1. Para cada pregunta, dibuja un diagrama para mostrar la relación entre las cantidades y para que te sirva de ayuda al contestar la pregunta. Luego, escribe una ecuación de multiplicación o de división para la situación descrita en la pregunta. Prepárate para compartir tu razonamiento. 

    1. ¿Cuántos libros de  \frac38 de pulgadas de grosor hacen una pila de 6 pulgadas de altura?
    2. ¿Cuántos grupos de  \frac12  libra hay en  2\frac 34 libras?
  2. Escribe una pregunta que se pueda representar con la ecuación de división  5 \div 1\frac12 = {?} . Luego, responde la pregunta. Muestra tu razonamiento.

Resumen de la lección 6

Una pastelera usó 2 kilogramos de harina para hacer varias tandas de una receta de pastelería. La receta requería \frac25 de kilogramo de harina por tanda. ¿Cuántas tandas hizo la pastelera?

Podemos pensar en la pregunta como: "¿Cuántos grupos de  \frac25 de kilogramo forman 2 kilogramos?" y representar esa pregunta con las ecuaciones.

{?} \boldcdot \frac25=2 2 \div \frac25 = {?}

Como ayuda, podemos dibujar un diagrama de cinta para dar sentido a la pregunta. Este diagrama muestra 2 kilogramos enteros, cada kilogramo partido en quintos. 

Podemos ver que hay 5 grupos de  \frac 25 en 2. Multiplicar 5 y  \frac25 nos permite verificar esta respuesta: 5 \boldcdot \frac 25 = \frac{10}{5} y  \frac {10}{5} = 2 , de manera que la respuesta es correcta. 

Observa que el número de grupos que resultan de  2 \div \frac25 es un número entero. Algunas veces, es posible que el número de grupos que obtenemos al dividir no sea un número entero. Este es un ejemplo:

Supongamos que una porción de arroz es  \frac34 de taza. ¿Cuántas porciones hay en  3\frac12 tazas?

{?}\boldcdot \frac34 = 3\frac12 3\frac12 \div \frac34 = {?}

Al considerar el diagrama, podemos ver que hay 4 grupos completos de  \frac 34 , más 2 cuartos. Si 3 cuartos forman un grupo completo, entonces 2 cuartos forman \frac 23 de un grupo. Así que el número de porciones (el "?" en cada ecuación) es 4\frac23 . Podemos verificar esto multiplicando 4\frac23 y  \frac34 .

4\frac23 \boldcdot \frac34 = \frac{14}{3} \boldcdot \frac34 , y \frac{14}{3} \boldcdot \frac34 = \frac{14}{4} , que en efecto es equivalente a  3\frac12 .

Problemas de práctica de la lección 6

  1. Podemos interpretar 3\div \frac14 como la respuesta a la pregunta: "¿Cuántos grupos de \frac14 hay en 3?". Dibuja un diagrama de cinta para representar la pregunta. Luego, responde la pregunta.

  2. Describe cómo dibujar un diagrama de cinta para representar y resolver 3 \div \frac35 = {?} para un amigo que estuvo ausente.

  3. ¿Cuántos grupos de \frac12 días hay en 1 semana?

    1. Escribe una ecuación de multiplicación o una ecuación de división para representar la pregunta.
    2. Dibuja un diagrama de cinta para mostrar la relación entre las cantidades y para responder la pregunta. Usa papel cuadriculado, si es necesario.
  4. Diego dijo que la respuesta a la pregunta: "¿cuántos grupos de \frac56 hay en 1?" es \frac 65 o  1\frac15 . ¿Estás de acuerdo con su afirmación? Explica o muestra tu razonamiento.

  5. Selecciona todas las ecuaciones que pueden representar la pregunta: "¿Cuántos grupos de  \frac45 hay en 1?".

    1. {?} \boldcdot 1=\frac45
    2. 1 \boldcdot \frac45 = {?}
    3. \frac45 \div 1 = {?}
    4. {?} \boldcdot \frac45 =1
    5. 1\div \frac45 = {?}

  6. Calcula mentalmente cada porcentaje.

    1. ¿Cuánto es 10% de 70?
    2. ¿Cuánto es 10% de 110?
    3. ¿Cuánto es 25% de 160?
    4. ¿Cuánto es 25% de 48?
    1. ¿Cuánto es 50% de 90?
    2. ¿Cuánto es 50% de 350?
    3. ¿Cuánto es 75% de 300?
    4. ¿Cuánto es 75% de 48?