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Lección 7¿Qué fracción de un grupo?

Pensemos en dividir objetos en grupos cuando no podemos hacer un grupo completo.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo reconocer cuando una pregunta pide el número de grupos y ese número es menor que 1.
  • Puedo usar diagramas y ecuaciones de multiplicación y división para representar y contestar preguntas del tipo "¿qué fracción de un grupo?".

7.1 Estimar una fracción de un número

  1. Estima las siguientes cantidades:

    1. ¿Cuánto es \frac13 de 7?
    2. ¿Cuánto es \frac45 de  9\frac23 ?
    3. ¿Cuánto es 2\frac47 de  10\frac19 ?
  1. Escribe una expresión de multiplicación para cada pregunta. 

7.2 Fracciones de cuerdas

Los segmentos en el applet representan 4 longitudes diferentes de cuerda. Compara una cuerda con otra. Puedes moverlas arrastrando los círculos abiertos en sus ectremos. Puedes usar los "alfileres" amarillos para marcar las longitudes. 

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  1. Compara las longitudes de las cuerdas B, C, y D con la longitud de la cuerda A y completa cada afirmación. Luego usa las medidas que se muestran en la cuadrícula para escribir una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para cada afirmación.
    1. La cuerda B es _____ veces tan larga como la cuerda A.

      Ecuación de multiplicación: _________________
      Ecuación de división: _________________

    2. La cuerda C es _____ veces tan larga como la cuerda A.

      Ecuación de multiplicación: _________________
      Ecuación de división: _________________

    3. La cuerda D es _____ veces tan larga como la cuerda A.

      Ecuación de multiplicación: _________________
      Ecuación de división: _________________

  2. Cada ecuación se puede usar para responder una pregunta sobre las cuerdas C y D. ¿Cuál podría ser cada pregunta? 

    1. {?} \boldcdot 3=9 y 9 \div 3={?}

    2. {?} \boldcdot 9=3 y 3 \div 9= {?}

7.3 Tandas fraccionarias de helado

Una tanda de helado requiere 9 tazas de leche. Una chef hace diferentes cantidades de helado en diferentes días. Estas son las cantidades de leche que ella usó: 

  • Lunes: 12 tazas
  • Martes: 22 \frac12 tazas
  • Jueves: 6 tazas
  • Viernes: 7 \frac12 tazas

  1. ¿Cuántas tandas de helado hizo la chef en cada uno de los siguientes días? Escribe una ecuación de división y dibuja un diagrama de cinta para la pregunta de cada día. Luego responde la pregunta.

    1. Lunes
      A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.
    2. Martes
      A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.

  2. ¿Qué fracción de una tanda de helado hizo la chef en cada uno de los siguientes días? Escribe una ecuación de división y dibuja un diagrama de cinta para la pregunta de cada día. Luego responde la pregunta. 

    1. Jueves
      A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.
    2. Viernes
      A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.

  3. Escribe una ecuación de división y dibuja un diagrama de cinta para cada pregunta. Luego responde la pregunta. 

    1. ¿Qué fracción de 9 es 3?
      A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.
    2. ¿Qué fracción de 5 es  \frac 12 ?
      A blank grid with a height of 5 units and a length of 24 units.

Resumen de la lección 7

Es natural pensar en grupos cuando tenemos más de un grupo, pero también podemos tener una fracción de un grupo.

Para encontrar la cantidad en una fracción de un grupo, podemos multiplicar la fracción por la cantidad que hay en un grupo completo. Si una bolsa de arroz pesa 5 kg,  \frac34 de una bolsa pesarían ( \frac34 \boldcdot 5) kg.

Algunas veces debemos encontrar qué fracción de un grupo es una cantidad dada. Supongamos que una bolsa de harina pesa 6 kg. Una chef usó 3 kg de harina. ¿Qué fracción de la bolsa fue usada? En otras palabras, ¿qué fracción de 6 kg es 3 kg? 

Esta pregunta se puede representar con una ecuación de multiplicación y una ecuación de división, así como con un diagrama. 

{?} \boldcdot 6 = 3 3\div 6 = {?}  

A tape diagram of 6 equal parts. Above the diagram, a brace from the beginning of the diagram to the end of the diagram is labeled "6 kilograms."Below the diagram, a brace from the beginning of the diagram to the end of the diagram is labeled 1 bag. A third brace that contains the first three parts is labeled "three ." Below the diagram, a fourth brace which also contains the first three parts is labeled "question mark bag."
Podemos ver del diagrama que 3 es  \frac12 de 6, y podemos verificar esta respuesta multiplicando:  \frac12 \boldcdot 6 = 3 .

En cualquier situación en la que queramos saber qué fracción de un número es otro número, podemos escribir una ecuación de división para ayudarnos a encontrar la respuesta. 

Por ejemplo, "¿qué fracción de 3 es  2\frac14 ?" se puede expresar como  {?} \boldcdot 3 = 2\frac14 , lo cual también se puede escribir como  2\frac14\div 3 = {?} .

La respuesta a "¿cuánto es 2\frac14 \div 3 ?" también es la respuesta a la pregunta original. 

El diagrama muestra que 3 unidades contienen 12 cuartos y que 2\frac14 contiene 9 cuartos, así que la respuesta a esta pregunta es  \frac{9}{12} , lo cual es equivalente a  \frac34 . 

Podemos usar diagramas para ayudarnos a resolver otros problemas de división que requieren encontrar una fracción de un grupo. Por ejemplo, este es un diagrama para ayudarnos a responder la pregunta: "¿Qué fracción de  \frac94 es  \frac32 ?", que se puede escribir como  \frac32 \div \frac94 = {?} .

Podemos ver que el cociente es  \frac69 , que es equivalente a  \frac23 . Multipliquemos para verificar esto:  \frac23 \boldcdot \frac94 = \frac{18}{12} , y  \frac{18}{12} es, en efecto, igual a  \frac32 .

Problemas de práctica de la lección 7

  1. Una receta requiere \frac12 lb de harina para 1 tanda. ¿Cuántas tandas se pueden hacer con cada una de las siguientes cantidades?

    1. 1 lb
    2. \frac34 lb
    3. \frac14 lb

  2. El gato Whiskers pesa 2\frac23 kg. Piglio pesa 4 kg. Para cada pregunta, escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división, decide si la respuesta es mayor o menor que 1, y luego responde la pregunta.

    1. ¿Cuántas veces tan pesado como Piglio es Whiskers?
    2. ¿Cuántas veces tan pesado como Whiskers es Piglio?

  3. Andre camina desde la casa hacia un festival que está a 1\frac58 kilómetros de distancia. Él se toma un descanso rápido después de caminar \frac13 kilómetros. En esta situación, ¿cuál pregunta se puede representar con la ecuación: {?} \boldcdot 1\frac58 = \frac13 ?

    1. ¿Qué fracción del recorrido ha completado Andre?
    2. ¿Cuántos kilómetros más tiene que caminar para llegar al festival?
    3. ¿Qué fracción del viaje falta?
    4. ¿Cuántos kilómetros hay de la casa al festival y de regreso a casa?

  4. Dibuja un diagrama de cinta para representar y responder la pregunta: ¿qué fracción de 2\frac12 es \frac45 ?

  5. ¿Cuántos grupos de \frac34 hay en cada una de las siguientes cantidades?

    1. \frac{11}{4}
    2. 6\frac12

  6. ¿Cuál pregunta se puede representar con la ecuación 4\div \frac27 = {?}

    1. ¿Cuánto hay en 4 grupos de \frac 27 ?
    2. ¿Cuántos \frac27  hay en 4?
    3. ¿Cuánto es \frac 27 de 4?
    4. ¿Cuántos 4 hay en \frac27 ?