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Lección 10La propiedad distributiva (Parte 2)

Usemos los rectángulos para entender la propiedad distributiva con variables.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar un diagrama de un rectángulo partido para escribir distintas expresiones con variables que representen su área.

10.1 Áreas posibles

  1. Un rectángulo tiene un ancho de 4 unidades y un largo de m unidades. Escribe una expresión para el área de este rectángulo.
  1. ¿Cuál es el área del rectángulo si m es 3 unidades?, ¿2.2 unidades?, ¿ \frac15 unidad?
  1. ¿El área de este rectángulo podría ser 11 unidades cuadradas? ¿Por qué sí o por qué no?

10.2 Rectángulos divididos cuando las longitudes son desconocidas

  1. Estos son dos rectángulos. Los valores del largo y ancho de un rectángulo son 8 y 5. El ancho del otro rectángulo es 5, pero su largo es desconocido, entonces lo marcamos como x . Escribe una expresión para la suma de las áreas de los dos rectángulos.

  2. Los dos rectángulos se pueden unir para formar un rectángulo más grande como se muestra a continuación. ¿Cuáles son el ancho y el largo del rectángulo grande?

    A figure of a small and large rectangle. The small rectangle is drawn to the left and adjacent to the large rectangle forming one large rectangle. The small rectangle has length of x and width 5. The large rectangle has length 8 and width 5.
  3. Escribe una expresión para el área total del rectángulo grande como el producto de su ancho y su largo.

10.3 Áreas de rectángulos divididos

Para cada rectángulo, escribe expresiones para el largo y el ancho, y dos expresiones para su área total. Regístralas en la tabla. Revisa tus expresiones en cada fila con tu grupo y discute cualquier desacuerdo.

Six different sized rectangles labeled A, B, C, D, E, and F. Rectangle A is partioned by a vertical line segment into two smaller rectangles. The vertical side is labeled 3 and the top horizontal side lengths are labeled "a" and 5. Rectangle B is partitioned by a vertical line segment into two smaller rectangles. The vertical side is labeled one third and the top horizontal side lengths are labeled 6 and x. Rectangle C is partitioned by 2 vertical line segments into three equally sized rectangles. The vertical side is labeled r and the top horizontal side lengths are each labeled 1. Rectangle D is partitioned by 3 vertical line segments into 4 equally sized rectangles. The vertical side is labeled 6, and the top horizontal side lengths are each labeled 4. Rectangle E is partitioned by a vertical line segment into two smaller rectangles. The vertical side is labeled m and the top horizontal side lengths are labeled 6 and 8. Rectangle F is partitioned by a vertical line segment into two smaller rectangles. The vertical side is labeled 5 and the top horizontal side lengths are labeled 3 x and 8.
ancho largo área como un producto de ancho por largo área como una suma de las áreas de los rectángulos más pequeños

¿Estás listo para más?

Este es un diagrama del área de un rectángulo.

  1. Encuentra las longitudes w , x , y y  z y el área A . Todos los valores son números enteros.
  2. ¿Puedes encontrar otro conjunto de longitudes que funcione? ¿Cuántas posibilidades hay?

Resumen de la lección 10

Este es un rectángulo compuesto por dos rectángulos más pequeños A y B. 

A rectangle is partitioned by a vertical line segment creating two smaller rectangles, A and B. Rectangle A has a vertical side length of 3 and horizontal side length of 2. Rectangle B has a horizontal side length of x.

A partir del dibujo, podemos hacer varias observaciones sobre el área del rectángulo:

  • La longitud de un lado del rectángulo grande es 3 y del otro lado es 2+x , entonces su área es 3(2+x) .
  • Como el rectángulo grande se puede descomponer en dos rectángulos más pequeños, A y B, sin superposición, el área del rectángulo grande es también la suma del área de los rectángulos A y B: 3(2) + 3(x) o  6+3x .
  • Dado que las dos expresiones representan el área del rectángulo grande, estas son equivalentes entre sí. 3(2+x) es equivalente a 6 + 3x .

Podemos ver que multiplicar 3 por la suma 2+x es equivalente a multiplicar 3 por 2 y luego 3 por x y sumar los dos productos. Esta relación es un ejemplo de la propiedad distributiva.

3(2+x) = 3 \boldcdot 2 + 3 \boldcdot x

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Este es un rectángulo.

    1. Explica por qué el área del rectángulo grande es  2a + 3a + 4a .
    2. Explica por qué el área del rectángulo grande es  (2+3+4)a .

  2. ¿El área del rectángulo sombreado es 6(2-m) o  6(m-2) ?

    Explica cómo lo sabes.

  3. Escoge las expresiones que no representen el área total del rectángulo. Selecciona todas las que correspondan.

    1. 5t + 4t
    2. t + 5 + 4
    3. 9t
    4. 4 \boldcdot 5 \boldcdot t
    5. t(5+4)
    A rectangle partitioned by a vertical line segment into two smaller rectangles. the vertical side is labeled t and the top horizontal side lengths are labeled 5 and 4.

  4. Valora cada expresión mentalmente.

    1. 35\boldcdot 91-35\boldcdot 89
    1. 22\boldcdot 87+22\boldcdot 13
    1. \frac{9}{11}\boldcdot \frac{7}{10}-\frac{9}{11}\boldcdot \frac{3}{10}

  5. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a 4b .

    1. b+b+b+b
    2. b+4
    3. 2b+2b
    4. b \boldcdot b \boldcdot b \boldcdot b
    5. b \div \frac{1}{4}

  6. Resuelve cada ecuación. Muestra tu razonamiento.

    1. 111=14g
    2. 13.65 = h + 4.88
    1. k+ \frac{1}{3} = 5\frac{1}{8}
    2. \frac{2}{5} m = \frac{17}{4}
    1. 5.16 = 4n

  7. Andre corrió  5\frac{1}{2} vueltas de una pista en 8 minutos, a una rapidez constante. Tardó x minutos en correr cada vuelta. Selecciona todas las ecuaciones que representen esta situación.

    1. \left(5\frac{1}{2}\right)x = 8
    2. 5 \frac{1}{2} + x = 8
    3. 5 \frac{1}{2} - x = 8
    4. 5 \frac{1}{2} \div x = 8
    5. x = 8 \div \left(5\frac{1}{2}\right)
    6. x = \left(5\frac{1}{2}\right) \div 8