Open Up Resources Logo

Lección 17Dos cantidades relacionadas (Parte 2)

Usemos ecuaciones y gráficas para describir historias que involucran rapidez constante.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo elaborar tablas y gráficas para representar la relación que hay entre la distancia y el tiempo para algo que se desplaza a una rapidez constante.
  • Puedo escribir una ecuación con variables para representar la relación que hay entre la distancia y el tiempo para algo que se desplaza a una rapidez constante.

17.1 De camino a la biblioteca

Lin y Jada caminan cada una a una tasa constante desde la escuela hasta la biblioteca. Lin puede caminar 13 millas en 5 horas y Jada puede caminar 25 millas en 10 horas. Ambas salen de la escuela a las 3:00 y caminan  3\frac14 millas hasta la biblioteca. ¿A qué hora llega cada una?

17.2 La caminata

Diego, Elena y Andre participaron en una caminata para recoger fondos para la investigación sobre el cáncer. Cada uno caminó a una tasa constante, pero sus tasas fueron diferentes.

  1. Completa la tabla para mostrar cuánto recorrió cada participante durante la caminata.
    tiempo en horas millas que caminó Diego millas que caminó Elena millas que caminó Andre
    1
    2 6
    12 11
    5 17.5
  1. ¿Qué tan rápido caminaba cada participante en millas por hora?
  1. ¿Cuánto se demoró cada participante en caminar una milla?
  1. Grafica el progreso de cada persona en el plano de coordenadas. Utiliza un color diferente para cada participante.
abrir en modo presentación

  1. Diego dice que d=3t representa su caminata, donde  d es la distancia caminada en millas y  t es el tiempo en horas.

    1. Explica por qué d=3t relaciona la distancia que Diego caminó con el tiempo que se demoró.
    2. Escribe dos ecuaciones que relacionen la distancia y el tiempo: una para Elena y otra para Andre.
  2. Usa las ecuaciones que escribiste para predecir la distancia que recorrerá cada participante, a su misma tasa, en 8 horas.
  3. Para la ecuación de Diego y las ecuaciones que escribiste, ¿cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente?

¿Estás listo para más?

  1. Dos trenes viajan el uno hacia el otro, en vías paralelas. El tren A se está moviendo a una rapidez constante de 70 millas por hora. El tren B se está moviendo a una rapidez constante de 50 millas por hora. Los trenes están inicialmente a 320 millas el uno del otro. ¿Cuánto tardarán en encontrarse? 

    Una forma de empezar a pensar sobre este problema es hacer una tabla. Agrega todas las filas que quieras.

    Tren A Tren B
    Posición de salida 0 millas 320 millas
    Después de 1 hora 70 millas 270 millas
    Después de 2 horas
  2. ¿Cuánto tardará un tren que viaja a 120 millas por hora en recorrer 320 millas?
  3. Explica la conexión que hay entre estos dos problemas.

Resumen de la lección 17

Las ecuaciones son muy útiles para resolver problemas que tienen rapideces constantes. Este es un ejemplo.

Un barco viaja con una rapidez constante de 25 millas por hora.

  1. ¿Cuánto recorre el barco en 3.25 horas?
  2. ¿Cuánto tarda el barco en recorrer 60 millas?

Podemos escribir ecuaciones que nos ayuden a responder preguntas como estas. Utilicemos t para representar el tiempo en horas y d para representar la distancia que recorre el barco en millas.

  1. Cuando conocemos el tiempo y queremos hallar la distancia, podemos escribir: d = 25t  En esta ecuación, si t cambia, d se ve afectada por el cambio, por eso t es la variable independiente y d es la variable dependiente.

    Esta ecuación nos puede ayudar a hallar d cuando tenemos cualquier valor de t . En 3.25 horas, el barco puede recorrer  25(3.25) u  81.25 millas.

  1. Cuando conocemos la distancia y queremos hallar el tiempo, podemos escribir:  t = \frac{d}{25} En esta ecuación, si d cambia, t se ve afectada por el cambio, por eso d es la variable independiente y t es la variable dependiente. 

    Esta ecuación nos puede ayudar a hallar t para cualquier valor de d . Para recorrer 60 millas, se necesitan  \frac{60}{25} o  2 \frac{2}{5} horas.

Estos problemas también se pueden resolver utilizando técnicas importantes que involucran razones como una tabla de razones equivalentes. Las ecuaciones son particularmente valiosas en este caso porque las respuestas no son números redondeados ni son fáciles de evaluar rápidamente.

También podemos graficar las dos ecuaciones que escribimos para obtener una representación visual de la relación entre las dos cantidades:


A graph of 10 points plotted in the coordinate plane with the origin labeled "O". The horizontal t axis is labeled "time in hours". The numbers 0 through 10, in increments of 2, are indicated, and there are vertical gridlines midway between. The vertical axis is labeled "distance traveled in miles". The numbers 0 through 250, in increments of 25, are indicated, and there are horizontal gridlines midway between. The data are as follows: 1 comma 25. 2 comma 50. 3 comma 75. 4 comma 100. 5 comma 125. 6 comma 150. 7 comma 175. 8 comma 200. 9 comma 225. 10 comma 250.

A graph of 10 points plotted on the coordinate plane with the origin labeled "O". The horizontal d axis is labeled "distance traveled in miles". The numbers 0 through 250, in increments of 25, are indicated, and there are vertical gridlines midway between. The vertical t axis is labeled "time in hours". The numbers 0 through 10, in increments of 2, are indicated, and there are horizontal gridlines midway between. The data are as follows: 25 comma 1. 50 comma 2. 75 comma 3. 100 comma 4. 125 comma 5. 150 comma 6. 175 comma 7. 200 comma 8. 225 comma 9. 250 comma 10.

Problemas de práctica de la lección 17

  1. Un carro se está desplazando por un camino a una rapidez constante de 50 millas por hora. 

    1. Completa la tabla con las cantidades de tiempo que tarda en recorrer ciertas distancias o con las distancias recorridas en ciertas cantidades de tiempo.

    1. Escribe una ecuación que represente la distancia recorrida por el carro, d , en una cantidad de tiempo, t .

    2. En tu ecuación, ¿cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente?
    tiempo (horas) distancia (millas)
    2
    1.5
    t
    50
    300
    d

  2. Esta gráfica representa la cantidad de tiempo en horas que un barco tarda en recorrer varias distancias en millas.

    1. Escribe las coordenadas de uno de los puntos de la gráfica. ¿Qué representa ese punto?
    2. ¿Cuál es la rapidez del barco en millas por hora?
    3. Escribe una ecuación que relacione el tiempo,  t , que se tarda en recorrer una distancia dada, d .

  3. Encuentra una solución para cada ecuación en la lista que sigue (no se usarán todos los números):

    1. 2^x=8
    2. 2^x=2
    3. x^2=100
    4. x^2=\frac{1}{100}
    1. x^1=7
    2. 2^x\boldcdot 2^3=2^7
    3. \frac{2^x}{2^3}=2^5

    Lista:

    \frac{1}{10}

    \frac{1}{3}

    1

    2

    3

    4

    5

    7

    8

    10

    16

  4. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a 5x +30x - 15x .

    1. 5(x + 6x-3x)
    2. (5+30-15)\boldcdot x
    3. x(5+30x-15x)
    4. 5x(1+6-3)
    5. 5(x+30x-15x)