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Lección 18Más relaciones

Utilicemos gráficas y ecuaciones para mostrar relaciones que involucren área, volumen y exponentes.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo elaborar tablas y gráficas que muestran diferentes tipos de relaciones entre cantidades.
  • Puedo escribir ecuaciones que describen relaciones de área y volumen.

18.1 Cuál es diferente: gráficas

¿Cuál es diferente?  
Four coordinate planes labeled "A", "B", "C", and "D," each with the origin labeled "O." For graph "A", nine points are graphed and the trend of the data points move linearly upward and to the right, where the first point begins at the origin. For graph "B", 11 points are graphed and the trend of the data points move linearly downward and to the right, where the first point begins on the vertical axis, high above the origin. For graph "C", 11 points are graphed and the trend of the data points move in a curve that moves upward and to the right, where the first point begins on the vertical axis, slightly above the origin. For graph "D", 11 points are graphed and the trend of the data points move horizontally and to the right, where the first point begins on the vertical axis and slightly above the origin.

18.2 Hacer un cartel

Mai va a elaborar un cartel rectangular para promocionar la obra de teatro escolar. El material requerido para el cartel se vende por pie cuadrado. Mai tiene dinero suficiente para comprar 36 pies cuadrados de material. Ella está tratando de decidir qué largo y qué ancho tendrá el cartel. 

  1. Si el largo es 6 pies, ¿cuál es el ancho?

  2. Si el largo es 4 pies, ¿cuál es el ancho?

  3. Si el largo es 9 pies, ¿cuál es el ancho?

  4. Para hallar diferentes combinaciones de largo y ancho que den un área de 36 pies cuadrados, Mai utiliza la ecuación  w=\frac{36}{\ell} , donde  w es el ancho y \ell es el largo. Compara tu estrategia con el método de Mai para hallar el ancho. ¿En qué se parecen o se diferencian?

  5. Utiliza varias combinaciones de largo y ancho para crear una gráfica que muestre la relación entre las longitudes de lado de varios rectángulos que tengan un área de 36 pies cuadrados.

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  6. Explica cómo describe la gráfica la relación que hay entre el largo y el ancho para diferentes rectángulos que tienen un área de 36.
  7. Supongamos que Mai utilizó la ecuación  \ell=\frac{36}{w} para hallar los largos para diferentes valores del ancho. ¿La gráfica sería diferente si ella graficara el largo en el eje vertical y el ancho en el eje horizontal? Explica cómo lo sabes.

18.3 Cajas de cereal

Un productor de cereal necesita diseñar una caja de cereal que tenga un volumen de 225 pulgadas cúbicas y una altura que no sea mayor a 15 pulgadas.

  1. Los diseñadores saben que el volumen de un prisma rectangular se puede calcular multiplicando el área de su base y su altura. Completa la tabla con pares de valores que hagan que el volumen sea 225 in3.
    altura (in) 5 9 12 7 \frac12
    área de la base (in2) 75 15
  2. Describe cómo hallaste los valores que hacían falta en la tabla.
  3. Escribe una ecuación que muestre cómo el área de la base, A , es afectada por los cambios en la altura, h , para diferentes prismas rectangulares que tengan un volumen de 225 in3.

  4. Dibuja los pares ordenados de la tabla en la gráfica para mostrar la relación que hay entre el área de la base y la altura para diferentes cajas que tengan un volumen de 225 in3.

18.4 Los mosquitos se multiplican

Un investigador que estudia poblaciones de mosquitos recoge los siguientes datos:

día del
estudio (d) 		número de
mosquitos (n)
1 2
2 4
3 8
4 16
5 32

  1. El investigador dijo que, para estos cinco días, el número de mosquitos, n , se puede hallar por medio de la ecuación  n = 2^d , donde d es el número de día del estudio. Explica por qué esta ecuación concuerda con los datos.

  1. Utiliza los pares ordenados en la tabla para graficar la relación que hay entre el número de mosquitos y el día del estudio para estos cinco días.

  2. Describe la gráfica. Compara cómo los datos, la ecuación y la gráfica ilustran la relación que hay entre el día del estudio y el número de mosquitos.

  3. Si el patrón continúa, ¿cuántos mosquitos habrá el día 6?

Resumen de la lección 18

Las ecuaciones pueden representar relaciones entre cantidades geométricas. Por ejemplo:

  • Si s representa la longitud de lado de un cuadrado, entonces el área  A está relacionada con  s :

    A = s^2

  • A veces las relaciones son más específicas. Por ejemplo, el perímetro P de un rectángulo que tiene largo  l y ancho  w es P=2l+2w . Si solo consideramos rectángulos que tengan largo 10, entonces la relación entre el perímetro y el ancho es:

    P = 20 + 2w

Este es otro ejemplo de una ecuación con un exponente que expresa la relación entre cantidades:

  • Una pelota de caucho se deja caer desde una altura de 10 pies. En cada rebote consecutivo la pelota solo alcanza  \frac{1}{2} de la altura del rebote anterior.

    Esto significa que en el primer rebote la pelota rebotará hasta 5 pies de altura y luego, en el segundo rebote, solo alcanzará  2\frac{1}{2} pies de altura, y así sucesivamente. Podemos representar esta situación con una ecuación para hallar qué tan alto rebotará la pelota después de cualquier número de rebotes.

    Para hallar qué tan alto rebota la pelota en el  n -ésimo rebote, debemos multiplicar 10 pies (la altura inicial) por  \frac{1}{2} y multiplicar nuevamente por \frac{1}{2} por cada rebote a partir de ese; debemos hacer esto  n veces. Entonces la altura, h , de la pelota en el  n -ésimo rebote será

h =10\left(\frac{1}{2}\right)^n

En esta ecuación, la variable dependiente, h , es afectada por los cambios en la variable independiente, n .

Las ecuaciones y las gráficas pueden darnos intuición en diferentes tipos de relaciones entre cantidades y ayudarnos a responder preguntas y a resolver problemas.

Problemas de práctica de la lección 18

  1. Elena está diseñando un logo con forma de paralelogramo. Ella quiere que el logo tenga un área de 12 pulgadas cuadradas. Dibuja bases de diferentes longitudes e intenta calcular la altura para cada una.

    1. Escribe una ecuación que Elena pueda utilizar para hallar la altura, h , para cada valor de la base, b .
    1. Usa tu ecuación para hallar la altura de un paralelogramo de base  1.5 pulgadas.

  2. Han está planeando recorrer 24 millas en su bicicleta.

    1. Si va a una tasa de 3 millas por hora, ¿cuánto tardará?

      ¿A 4 millas por hora?

      ¿A 6 millas por hora?

    1. Escribe una ecuación que Han pueda usar para encontrar t , el tiempo que tardará en andar 24 millas, si su tasa en millas por hora se representa con r .
    1. En papel cuadriculado, dibuja una gráfica que muestre t en términos de r para un recorrido de 24 millas.

  3. La gráfica de la ecuación V=10s^3 contiene los puntos (2,80) y (4,640) .

    1. Crea una historia que esté representada por esta gráfica. 
    2. ¿Qué significan los puntos en el contexto de tu historia?

  4. Encuentras una lámpara que se ve muy vieja. Cuando le quitas algo de polvo, ¡aparece un genio! El genio te ofrece un premio. Debes elegir uno:

    • $50,000
    • Una moneda mágica de $1. La moneda se convertirá en dos monedas el primer día. Las dos monedas se convertirán en cuatro monedas el segundo día. Las cuatro monedas se duplicarán para convertirse en 8 monedas el tercer día. El genio te explica que el proceso de duplicación continuará por 28 días.
    1. Escribe una ecuación que muestre el número de monedas, n , en términos del día, d .
    2. Crea un tabla que muestre el número de monedas para cada día por los primeros 15 días.
    3. Crea una gráfica para los días 7 al 12 que muestre cómo el número de monedas crece con cada día que pasa.