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Lección 10Interpretación de desigualdades

Analicemos lo que las desigualdades pueden contarnos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escribir desigualdades que involucran más de una variable.
  • Puedo explicar lo que la solución a una desigualdad significa en una situación.

10.1 Verdadero o falso: fracciones y decimales

Decide si cada ecuación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. 3(12+5) = (3\boldcdot 12)\boldcdot (3\boldcdot 5)
  2. \frac13\boldcdot \frac34 = \frac34\boldcdot \frac26
  3. 2\boldcdot (1.5)\boldcdot 12 = 4\boldcdot (0.75)\boldcdot 6

10.2 Un juego de baloncesto

Noah anotó  n puntos en un juego de baloncesto.

  1. ¿Qué significa 15 < n en el contexto del juego de baloncesto?
  1. ¿Qué significa n < 25 en el contexto del juego de baloncesto?

  1. Dibuja dos rectas numéricas para representar las soluciones a las dos desigualdades.

  1. Da un valor posible para n que sea una solución a ambas desigualdades.
  1. Da un valor posible para n que sea una solución a  15 < n , pero no una solución a n < 25 .
  1. ¿Puede -8 ser una solución a n < 25 en este contexto? Explica tu razonamiento.

10.3 Colgadores desbalanceados

  1. Este es un diagrama de un colgador desbalanceado.

    An unbalanced hanger with the left side higher than the right side. On the left side, a pentagon. On the right side, a circle.

    Jada dice que el peso de un círculo es mayor que el peso de un pentágono.

    1. Escribe una desigualdad para representar su afirmación, donde p sea el peso de un pentágono y  c  el peso de un círculo.

    2. Un círculo pesa 12 onzas. Usa esta información para escribir otra desigualdad que represente la relación entre los pesos. Luego describe lo que esta desigualdad significa en este contexto.

  2. Este es otro diagrama de un colgador desbalanceado.

    An unbalanced hanger with the left side higher than the right side. On the left side, a square. On the right side, a pentagon.
    1. Escribe una desigualdad para representar la relación entre los pesos. Llama  p al peso de un pentágono y s al peso de un cuadrado.
    1. Un pentágono pesa 8 onzas. Usa esta información para escribir otra desigualdad que represente la relación de los pesos. Luego describe lo que esta desigualdad significa en este contexto.

    2. Grafica las soluciones a esta desigualdad en una recta numérica.

  3. Basado en tu trabajo hasta ahora, ¿puedes decir la relación entre el peso del cuadrado y el peso de un círculo? Si es así, escribe una desigualdad que represente la relación. Si no, explica tu razonamiento.

  4. Este es otro diagrama de un colgador desbalanceado.

    An unbalanced hanger with the left side lower than the right side. On the left side, a circle and a pentagon arranged vertically. On the right side, a square.

    Andre escribe la siguiente desigualdad: c + p < s . ¿Estás de acuerdo con su desigualdad? Explica tu razonamiento.

  5. Jada observa otro diagrama de un colgador desbalanceado y escribe: s + c > 2t , donde t representa el peso de un triángulo. Dibuja un esbozo del diagrama.

¿Estás listo para más?

Esta es una imagen de un colgador balanceado. Nos muestra que el peso total de los tres triángulos es el mismo que el peso total de los cuatro cuadrados.

1. ¿Qué te dice esto sobre el peso de un cuadrado en comparación con el de un triángulo? Explica cómo lo sabes.

  1. Escribe una ecuación o una desigualdad para describir la relación entre el peso de un cuadrado y el de un triángulo. Llama  s al peso de un cuadrado y  t al peso de un triángulo.

Resumen de la lección 10

Cuando encontramos las soluciones de una desigualdad, debemos pensar sobre su contexto cuidadosamente. Un número puede ser una solución a una desigualdad por fuera del contexto pero al mismo tiempo no tener sentido cuando se considera dentro del contexto.

  • Supongamos que una jugadora de baloncesto anotó más de 11 puntos en un juego y que representamos el número de puntos que ella anotó, s , con la desigualdad s >11 . Si miramos solamente s >11 , podríamos decir que números tales como 12, 14\frac12 y 130.25 son soluciones para la desigualdad porque todos hacen la desigualdad verdadera.

    12>11

    14\frac12 >11

    130.25 > 11

    En un juego de baloncesto, sin embargo, solo es posible anotar un número entero de puntos, así que no es posible que haya marcadores fraccionarios y decimales. También es altamente improbable que una persona pudiera anotar más de 130 puntos en un solo juego.

    En otras palabras, el contexto de una desigualdad puede limitar sus soluciones.

Este es otro ejemplo:

  • Las soluciones a r<30 pueden incluir números tales como  27\frac34 , 18.5, 0 y -7. Pero si r representa los números de minutos de lluvia de ayer (y sí llovió), entonces nuestras soluciones se limitan a números positivos. Cero o un número negativo de minutos no tendrían sentido en este contexto.

    Para mostrar los extremos superior o inferior, podemos escribir dos desigualdades:

    0<r

    r<30

Las desigualdades también pueden representar comparaciones de dos números desconocidos.

  • Digamos que sabemos que un cachorro pesa más que un gatito, pero no sabemos el peso de cada animal. Podemos representar el peso del cachorro, en libras, con p y el peso del gatito, en libras, con k , y escribir esta desigualdad: p >k

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Hay una caja de huevos en el refrigerador de Mai. La caja tiene e huevos y le caben 12 huevos.

    1. ¿Qué significa la desigualdad  e < 12 en este contexto?

    2. ¿Qué significa la desigualdad  e > 0 en este contexto?

    3. ¿Cuáles son algunos valores posibles de  e que hacen  e < 12 y  e > 0 verdaderas?

  2. Este en un diagrama de colgador desbalanceado.

    1. Escribe una desigualdad para representar la relación de los pesos. Usa  s para representar el peso del cuadrado en gramos y c para representar el peso del círculo en gramos.
    1. Un círculo rojo pesa 12 gramos. Escribe una desigualdad para representar el peso de un cuadrado azul.
    2. ¿Podría ser 0 un valor de  s ? Explica tu razonamiento.

  3. Tyler tiene más de $10. Elena tiene más dinero que Tyler. Mai tiene más dinero que Elena. Sea  t la cantidad de dinero que tiene Tyler, sea  e la cantidad de dinero que tiene Elena y sea m la cantidad de dinero que tiene Mai. Selecciona todas las afirmaciones verdaderas:

    1. t < m
    2. m > 10
    3. e > 10
    4. t > 10
    5. e > m
    6. t < e

    1. Jada es más alta que Diego. La estatura de Diego es 54 pulgadas (4 pies, 6 pulgadas). Escribe una desigualdad que compare la estatura de Jada en pulgadas, j , con la estatura de Diego.

    2. Jada es más baja que Elena. La estatura de Elena es 5 pulgadas. Escribe una desigualdad que compare la altura de Jada en pulgadas, j , con la estatura de Elena.

  5. ¿Cuál es mayor, \frac {\text{-}9}{20} o -0.5? Explica cómo lo sabes. Si tienes dificultades, considera graficar los números en una recta numérica.

  6. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a \left(\frac{1}{2}\right)^3 .

    1. \frac{1}{2} \boldcdot \frac{1}{2} \boldcdot \frac{1}{2}
    2. \frac{1}{2^3}
    3. \left(\frac{1}{3}\right)^2
    4. \frac{1}{6}
    5. \frac{1}{8}