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Lección 17Múltiplos comunes

Usemos múltiplos para resolver problemas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar qué es el mínimo común múltiplo.
  • Puedo explicar qué es un múltiplo común.
  • Puedo hallar el mínimo común múltiplo de dos números enteros.

17.1 Observa y pregúntate: múltiplos

Marca todos los múltiplos de 4 en esta lista.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26

Marca todos los múltiplos de 6 en esta lista.

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

17.2 El pedido de la florista

Una florista puede hacer pedidos de rosas en manojos de 12 y de lirios en manojos de 8. El mes pasado pidió la misma cantidad de rosas y de lirios.

  1. Si ella hizo pedidos de no más de 100 de cada tipo de flor, ¿cuántos manojos de cada una pudo haber pedido? Encuentra todas las combinaciones posibles.
  2. ¿Cuál es el número más pequeño de manojos de rosas que pudo haber pedido? Y para los lirios, ¿cuál es el número más pequeño de manojos? Explica tu razonamiento.

17.3 Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24.

  1. ¿Qué piensas que significa el término "mínimo común múltiplo"?
  2. Encuentra todos los múltiplos de 10 y 8 que son menores que 100. Encuentra el mínimo común múltiplo de 10 y 8.
  3. Encuentra todos los múltiplos de 7 y 9 que son menores que 100. Encuentra el mínimo común múltiplo de 7 y 9.

¿Estás listo para más?

  1. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 10 y 20?
  2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y 12?
  3. En las dos preguntas anteriores, un número es un múltiplo del otro. ¿Qué observas sobre su mínimo común múltiplo? ¿Piensas que esto siempre va a pasar cuando un número es un múltiplo del otro? Explica tu razonamiento. 

17.4 Premios en el día de la gran inauguración

El tío de Lin va a abrir una pastelería. El día de la gran inauguración de la pastelería, él planea regalar premios a los primeros 50 clientes que entren al local. Cada quinto cliente recibirá un bagel gratis. Cada noveno cliente recibirá un muffin de arándano gratis. Cada 12º cliente recibirá una rebanada de pastel de zanahoria gratis.

  1. Diego está esperando en la fila y es el cliente 23º. Él piensa que debería hacerse más atrás en la fila para poder recibir un premio. ¿Está en lo correcto? Si es así, ¿cuántos puestos más atrás debería hacerse para recibir por lo menos un premio? Explica tu razonamiento.

  2. Jada es la cliente 36º.

    1. ¿Ella recibirá un premio? Si es así, ¿qué premio recibirá?
    2. ¿Es posible que ella reciba más de un premio?, ¿cómo lo sabes? Explica tu razonamiento.
  3. ¿Cuántos premios en total regalará el tío de Lin? Explica tu razonamiento.

Resumen de la lección 17

Un múltiplo de un número entero es un producto de ese número con otro número entero. Por ejemplo, 20 es un múltiplo de 4 porque  20 = 5\boldcdot 4 .

Un múltiplo común de dos números enteros es un número que es un múltiplo de ambos números. Por ejemplo, 20 es un múltiplo de 2 y un múltiplo de 5, así que 20 es un múltiplo común de 2 y 5. 

El mínimo común múltiplo (algunas veces escrito como MCM) de dos números enteros es el múltiplo más pequeño que tienen en común. Por ejemplo, 30 es el mínimo común múltiplo de 6 y 10.

Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo de dos números es hacer una lista de los múltiplos de cada uno, en orden, hasta que encontremos el múltiplo más pequeño que tienen en común. Encontremos el mínimo común múltiplo de 4 y 10. Primero, hagamos la lista de algunos múltiplos de cada número. 

  • Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44,...
  • Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50,...

Tanto 20 como 40 son múltiplos de 4 y 10 (como también lo son 60, 80, . . . ), pero 20 es el número más pequeño que está en ambas listas, así que 20 es el mínimo común múltiplo.

Términos del glosario

mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de dos números es el menor número que es un múltiplo de ambos. A veces nos referimos a esté como el LCM (por sus siglas en inglés) o el MCM. Por ejemplo, 30 es el mínimo común múltiplo de 6 y 10.

Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 . . .

Los múltiplos de 10 son 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 . . .

Los números 6 y 10 tienen varios múltiplos en común (30, 60, 90, . . .). El menor de ellos es 30.

múltiplo común

Un múltiplo común de dos números enteros es un número que se puede obtener al multiplicar cada uno de los números por algún número entero (que no tiene que ser el mismo). Por ejemplo, 30 es un múltiplo común de 3 y 5 porque  3 \cdot 10 = 30 y 5 \cdot 6 = 30 . Ambos factores, 10 y 6, son números enteros.

Los múltiplos de 3 son 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33 . . . 

Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40 . . . 

Así los múltiplos comunes de 3 y 5 son 15, 30, 45, 60 . . .

Problemas de práctica de la lección 17

    1. Una luz verde parpadea cada 4 segundos y una luz amarilla parpadea cada 5 segundos. ¿Cuándo parpadearán ambas luces al mismo tiempo?
    2. Una luz roja parpadea cada 12 segundos y una luz azul parpadea cada 9 segundos. ¿Cuándo parpadearán ambas luces al mismo tiempo?
    3. Explica cómo determinas cuando parpadean las luces al mismo tiempo.
    1. Realiza la lista de todos los múltiplos de 10, hasta el 100.
    2. Realiza la lista de todos los múltiplos de 15, hasta el 100.
    3. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 10 y 15?

  3. Se venden pocillos en paquetes de 8. Se venden servilletas en paquetes de 12.

    1. ¿Cuál es el menor número de paquetes de pocillos y el menor número de paquetes de servilletas que se pueden comprar para que haya la misma cantidad de pocillos y de servilletas?
    2. ¿Cuántas parejas de servilletas y pocillos habrá?

  4. El rectángulo ABCD está dibujado en un plano de coordenadas. A = (\text-6, 9) y B = (5, 9) .

    ¿Cuáles podrían ser las ubicaciones de los puntos C y D?

  5. Una escuela quiere recaudar $2,500 para apoyar su programa de música.

    1. Si ya ha alcanzado el 20% de su meta, ¿cuánto dinero ha recaudado?

    2. Si alcanza el 175% de su meta, ¿cuánto dinero recibirá el programa de música? Muestra tu razonamiento.