Lección 18Usemos múltiplos comunes y factores comunes

Usemos factores comunes y múltiplos comunes para resolver problemas.

Metas de aprendizaje:

Puedo resolver problemas usando factores o múltiplos comunes.

18.1 Mantengamos un ritmo constante

Tu profesor te dará instrucciones para participar en un juego de ritmo. Mientras juegas, piensa en estas preguntas:

¿Cuándo sucederán los dos sonidos al mismo tiempo?
¿Cómo se relaciona este juego con factores comunes y múltiplos comunes?

18.2 Factores y múltiplos

Trabaja con tu compañero para resolver los siguientes problemas:

Fiesta. Elena está comprando vasos y platos para su fiesta. Los vasos se venden en paquetes de 8 y los platos se venden en paquetes de 6. Ella quiere tener el mismo número de platos y de vasos.
1. Encuentra un número de platos y vasos que cumpla con su requisito.
2. ¿Cuántos paquetes de cada artículo deberá comprar para tener ese número?
3. Encuentra otras dos cantidades de platos y vasos que cumplan con su requisito.
Baldosas. La dueña de un restaurante está reemplazando el piso del baño del restaurante con baldosas cuadradas. Las baldosas se colocarán lado a lado para cubrir la totalidad del baño sin dejar espacios y ninguna de ellas se puede cortar. El piso es un rectángulo que mide 24 pies por 18 pies.
1. ¿Cuál es el mayor tamaño de baldosa que ella podría usar? Escribe la longitud del lado en pies. Explica cómo sabes que es la baldosa más grande posible.
2. ¿Cuántas de las baldosas más grandes se necesitan?
3. Encuentra más tamaños de baldosas cuyos lados midan un número entero de pies y que ella podría usar para recubrir el piso del baño. Escribe las longitudes de los lados (en pies) de las baldosas cuadradas.
Calcomanías. Para celebrar el primer día de primavera, Lin va a poner calcomanías en algunos de los 100 casilleros de uno de los lados del pasillo de su escuela secundaria. Ella pega una calcomanía de una patineta en cada 4º casillero (empezando en el casillero 4) y una calcomanía de una cometa en cada 5º casillero (empezando en el casillero 5).
1. Menciona tres casilleros que tendrán ambas calcomanías.
2. Después de que Lin termine su recorrido por el pasillo, ¿el casillero 30º tendrá 1 calcomanía, tendrá 2 calcomanías? Explica cómo lo sabes.
Botiquines. La enfermera de la escuela está armando botiquines de primeros auxilios para los profesores. Tiene 75 curas y 90 pastillas para la garganta. Todos los botiquines deben tener el mismo número de cada artículo y no puede haber artículos de sobra.
1. ¿Cuál es el mayor número de botiquines que puede armar la enfermera?
2. ¿Cuántas curas y pastillas habrá en cada botiquín?

¿Qué tipo de trabajo matemático se llevó a cabo en cada uno de los problemas anteriores? Pon marcas en la tabla para registrar sobre qué fueron las preguntas.

problema	encontrar múltiplos	encontrar mínimo común múltiplo	encontrar factores	encontrar máximo factor común
Fiesta
Baldosas
Calcomanías
Botiquines

¿Estás listo para más?

Probablemente ya sabes cómo dibujar una estrella de cinco puntas sin levantar tu lápiz del papel. Una forma de hacerlo es comenzar con 5 puntos dispuestos en círculo y después conectar cada segundo punto.

Si intentas hacer lo mismo con 6 puntos dispuestos en círculo, tendrás que alzar tu lápiz del papel. Una vez hagas el primer triángulo, tendrás que encontrar un punto vacío y empezar el proceso nuevamente. Tu estrella de 6 puntas tiene dos partes que se dibujan, cada una, sin levantar el lápiz.

Con 12 puntos dispuestos en círculo, podemos hacer estrellas de 12 puntas.

Comienza en un punto y conecta cada segundo punto, como si estuvieras dibujando una estrella de cinco puntas. ¿Puedes dibujar una estrella de 12 puntas sin levantar tu lápiz? Si no, ¿cuántas partes tiene la estrella?

Ahora, conecta cada tercer punto. ¿Puedes dibujar una estrella de 12 puntas sin levantar tu lápiz? Si no, ¿cuántas partes obtienes?

¿Qué crees que pasará si conectas cada cuarto punto? Inténtalo, ¿cuántas partes obtienes?

¿ Crees que hay alguna forma de dibujar una estrella de 12 puntas sin levantar tu lápiz? Inténtalo.

Ahora investiga las estrellas de ocho puntas, nueve puntas y diez puntas. ¿Qué patrones identificas?

18.3 Más factores y múltiplos

Estos son cinco problemas más. Lee y discute cada uno con tu grupo. Sin resolverlos, haz una predicción sobre si cada problema implica encontrar múltiplos comunes o encontrar factores comunes. Marca una o más opciones para mostrar tu predicción.

Fútbol. Diego y Andre están en la liga de verano de fútbol. Durante el mes de agosto, Diego tiene un partido cada 3^er día, empezando el 3 de agosto, y Andre tiene un partido cada 4º día, empezando el 4 de agosto.
múltiplos comunes

mínimo común múltiplo
factores comunes

máximo factor común
1. ¿Cuál es la primera fecha en la que ambos niños tendrán un partido?
2. ¿Cuántos de sus partidos serán en la misma fecha?
Funciones. Durante un festival de artes escénicas, los estudiantes de primaria y secundaria se agruparán mezclados para realizar varias funciones. Hay 32 estudiantes de primaria y 40 estudiantes de secundaria. El director artístico quiere grupos idénticos para las funciones, con estudiantes de ambos niveles en cada grupo. Cada estudiante puede estar solo en un grupo.
múltiplos comunes

mínimo común múltiplo
factores comunes

máximo factor común
1. Menciona todas las formas posibles de agrupar a los estudiantes.
2. ¿Cuál es el mayor número de grupos que se puede formar? ¿Cuántos estudiantes de primaria y cuántos de secundaria quedarán en cada grupo?
Luces. Hay un hilo de luces de navidad con bombillos rojos, dorados y azules. Los bombillos rojos están programados para parpadear cada 12 segundos, los bombillos dorados están programados para parpadear cada 8 segundos y los bombillos azules están programados para parpadear cada 6 segundos. El hilo de luces tiene un temporizador automático que las prende cada día a las 7:00 p.m. y las apaga a la media noche.
múltiplos comunes

mínimo común múltiplo
factores comunes

máximo factor común
1. ¿Tras cuánto tiempo parpadearán los bombillos de los 3 colores exactamente a la vez?
2. ¿Cuántas veces en total pasará esto en un día?
Carteles. Noah tiene dos pedazos de tela cuadrados. Él está haciendo carteles cuadrados para que los estudiantes sostengan durante el partido del día de inauguración. Uno de sus pedazos de tela mide 72 pulgadas de ancho, el otro mide 90 pulgadas de ancho. El quiere usar toda la tela, y cada cartel cuadrado debe ser del mismo ancho y tan grande como sea posible.
múltiplos comunes

mínimo común múltiplo
factores comunes

máximo factor común
1. ¿De qué ancho debería cortar los carteles?
2. ¿Cuántos carteles puede cortar?
Bailarines.En el recital de danza de Elena, su presentación comienza con una fila de 48 bailarines que actúan en la oscuridad con una luz negra que ilumina sus vestidos blancos. Los 48 bailarines entran al escenario en una fila recta. Cada 3^er bailarín lleva una cinta blanca en la cabeza, cada 5º bailarín lleva un cinturón blanco y cada 9º bailarín usa un par de guantes blancos.
múltiplos comunes

mínimo común múltiplo
factores comunes

máximo factor común
1. Si Elena es la 30^a bailarina, ¿qué accesorios llevará puestos?
2. ¿Algún bailarín llevará puestos todos los 3 accesorios? Si es así, ¿cuáles?
3. ¿Cuántos de cada accesorio deberá encargar el profesor de danza?
Tu profesor asignará un problema a tu grupo. Trabaja con tu grupo en otra hoja de papel para resolver el problema. Muestra tu razonamiento. Haz una pausa en este punto para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.
Trabaja con tu grupo para crear una presentación visual que incluya un diagrama, una ecuación y una palabra del vocabulario matemático que ayude a explicar tu razonamiento matemático al resolver el problema.
Preparen una exposición corta en la que todos los integrantes del grupo participen. La presentación deberá incluir: el problema (léanlo en voz alta), la predicción del grupo sobre el concepto matemático con que se relaciona el problema y una explicación de cada paso en el proceso de solución.

18.4 Bingo de factores y múltiplos

Tu profesor explicará las instrucciones para un juego de bingo. Estas son algunas cosas para tener en mente:

Comparte un cartón de bingo y las fichas de bingo con un compañero.
Para jugar, el profesor leerá enunciados en voz alta. Pueden ayudarse entre sí para decidir qué números encajan con cada enunciado, pero hablen susurrando. Si el profesor oye algo más fuerte que un susurro, quedan por fuera del juego.
La primera persona que grite bingo debe leer cada número e identificar el enunciado al que corresponde. Si hay un error al identificar los enunciados, el jugador sale del juego y la ronda continúa.

¡Mucha suerte y diviértete!

Resumen de la lección 18

Si un problema pide dividir dos números enteros entre el mismo número entero, estamos buscando un factor común. Si pide encontrar el número más grande que pueda dividir a los dos números enteros, estamos buscando el máximo factor común.

Supongamos que tenemos 12 bagels y 18 muffins y queremos hacer bolsas de tal forma que cada una tenga la misma combinación de bagels y muffins. Los factores comunes de 12 y 18 nos dicen el número posible de bolsas que podemos hacer.

Los factores comunes de 12 y 18 son 1, 2, 3 y 6. Para estos números de bolsas, este es el número de bagels y muffins por cada bolsa:

1 bolsa: 12 bagels y 18 muffins
2 bolsas: 6 bagels y 9 muffins
3 bolsas: 4 bagels y 6 muffins
6 bolsas: 2 bagels y 3 muffins

Podemos ver que el mayor número de bolsas que se puede hacer, 6, es el máximo factor común.

Si un problema pide encontrar un número que sea un múltiplo de dos números dados, estamos buscando un múltiplo común. Si pide encontrar la primera vez que los dos números compartan un múltiplo, estamos buscando el mínimo común múltiplo.

Supongamos que unos tenedores se venden en cajas de 9 y unas cucharas se venden en cajas de 15, y que queremos comprar el mismo número de cada uno. Los múltiplos de 9 nos indican cuántos tenedores podríamos comprar y los múltiplos de 15 nos indican cuántas cucharas podríamos comprar, como se muestra a continuación:

Tenedores: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 90,...
Cucharas: 15, 30, 45, 60, 75, 90,...

Si queremos tantos tenedores como cucharas, nuestras opciones son 45, 90, 135 y así sucesivamente, pero el número más pequeño de utensilios que podríamos comprar es 45, el mínimo común múltiplo. Esto significa comprar 5 cajas de tenedores () y 3 cajas de cucharas ().

Problemas de práctica de la lección 18

Mai, Clare y Noah están haciendo afiches para promocionar el baile de la escuela. Mai se demora 6 minutos en hacer un afiche, Clare se demora 8 minutos en hacer un afiche y Noah se demora 5 minutos en hacer un afiche. Ellos trabajan juntos a esas mismas tasas durante media hora.
1. ¿Mai y Clare completarán algún afiche al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
2. ¿Mai y Noah completarán algún afiche al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
3. ¿Clare y Noah completarán algún afiche al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
4. ¿Los tres completarán algún afiche al mismo tiempo? Explica tu razonamiento.
Diego tiene 48 galletas con chispas de chocolate, 64 galletas de vainilla y 100 galletas de uvas pasas para una feria de pastelería. Él quiere formar bolsas que tengan los tres sabores de galletas y la misma cantidad de cada sabor por bolsa.
1. ¿Cuántas bolsas puede formar sin que le sobre ninguna galleta?
2. Encuentra otra solución para este problema.
1. Encuentra el producto de 12 y 8.
2. Encuentra el máximo factor común de 12 y 8.
3. Encuentra el mínimo común múltiplo de 12 y 8.
4. Encuentra el producto del máximo factor común y el mínimo común múltiplo de 12 y 8.
5. ¿Qué observas sobre las respuestas de las preguntas 1 y 4?
6. Escoge otros 2 números y repite los pasos 1 al 5. ¿Obtienes los mismos resultados?
1. Dado el punto , menciona un segundo punto de tal forma que los dos puntos formen una recta vertical.
2. Dado el punto , menciona un segundo punto de tal forma que los dos puntos formen una recta horizontal.
Encuentra mentalmente el valor de cada expresión.