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Lección 7Comparemos números y distancias al cero

Usemos el valor absoluto y los números negativos para pensar sobre altitud.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar qué significa el valor absoluto en situaciones que involucran altitud.
  • Puedo usar desigualdades para comparar números racionales y los valores absolutos de números racionales.
  • Puedo usar valores absolutos para describir altitudes.

7.1 Opuestos

  1. a es un número racional. Escoge un valor para  a y ubícalo en la recta numérica.

    1. Según donde ubicaste a , ubica \text- a en la misma recta numérica.
    2. ¿Cuál es el valor de  \text- a  que ubicaste?
  3. Noah dijo: "Si  a es un número racional, \text- a siempre será un número negativo". ¿Estás de acuerdo con Noah? Explica tu razonamiento.

7.2 Submarino

Un submarino está a una altitud de -100 pies (100 pies por debajo del nivel del mar). Comparemos las altitudes de estas cuatro personas con la del submarino:

  • La altitud de Clare es mayor que la altitud del submarino. Clare está más lejos del nivel del mar que el submarino.
  • La altitud de Andre es menor que la altitud del submarino. Andre está más lejos del nivel del mar que el submarino.
  • La altitud de Han es mayor que la altitud del submarino. Han está más cerca del nivel del mar que el submarino.
  • La altitud de Lin está a la misma distancia del nivel del mar que el submarino.
  1. Completa la tabla de la siguiente forma.
    1. Escribe una altitud posible para cada persona.
    2. Usa  < , >  o  = para comparar la altitud de esa persona con la del submarino.
    3. Usa el valor absoluto para expresar qué tan lejos está la persona del nivel del mar (altitud 0).
    Como ejemplo, la primera fila se ha completado con una altitud posible para Clare.
    altitud posible comparada con el submarino distancia a partir del nivel del mar
    Clare 150 pies 150 > \text-100 |150| o 150 pies
    Andre
    Han
    Lin
  2. Priya dice que su altitud es menor que la del submarino y que ella está más cerca del nivel del mar. ¿Esto es posible? Explica tu razonamiento.

7.3 Mezclar y combinar desigualdades

Estos son algunos números y símbolos de desigualdad. Trabaja con tu compañero para escribir afirmaciones verdaderas de comparación.

-0.7

\text{-}\frac {6}{3}

-4

\text{-}\frac {3}{5}

-2.5

0

1

2.5

\frac72

4

8

|3|

|\text-8|

|0.7|

|\text{-}\frac {5}{2}|

<

=

>

Uno de ustedes debe escoger dos números y un símbolo de comparación y usarlos para escribir una afirmación verdadera usando los símbolos. El otro debe escribir una oración en palabras con el mismo significado, usando las siguientes frases:

  • es igual a
  • es el valor absoluto de
  • es mayor que
  • es menor que

Por ejemplo, uno puede escribir  4 < 8 y el otro escribirá, "4 es menor que 8". Intercambien roles hasta que cada uno tenga tres afirmaciones matemáticas verdaderas y tres oraciones escritas.

¿Estás listo para más?

Para cada pregunta, escoge un valor para cada variable de tal forma que todo el enunciado sea verdadero (cuando se usa la palabra y en matemáticas, ambas partes deben ser verdaderas para que todo el enunciado sea verdadero). ¿Puedes hacerlo si una variable es negativa y una es positiva? ¿Puedes hacerlo si ambos valores son negativos?

  1. x < y y  |x| < y .
  2. a < b y |a| < |b| .
  1. c < d y |c| > d .
  2. t < u y |t| > |u| .

Resumen de la lección 7

Usar la altitud nos puede ayudar a comparar dos números racionales o dos valores absolutos.

  • Supongamos que un ancla está a una altitud de -10 metros y una casa está a una altitud de 12 metros. Para describir que el ancla está a una altitud menor que la casa, podemos escribir  \text-10<12 y decimos "-10 es menor que 12".
  • El ancla está más cerca que la casa del nivel del mar (o altitud 0). Para describir esto, escribimos  |\text-10|<|12| y decimos "la distancia entre -10 y 0 es menor que la distancia entre 12 y 0". 

Podemos usar descripciones similares para comparar números racionales y sus valores absolutos fuera del contexto de altitud.

  • Para comparar la distancia de -47.5 y 5.2 al 0, podemos decir: |\text-47.5| está a 47.5 unidades del 0 y |5.2| está a 5.2 unidades del 0, así  |\text-47.5|>|5.2| .
  • |\text-18|>4 significa que el valor absoluto de -18 es mayor que 4. Esto es verdad porque 18 es mayor que 4.

Problemas de práctica de la lección 7

  1. En el contexto de elevación, ¿qué querría decir  |\text-7| pies?

  2. Empareja las afirmaciones escritas en español con los enunciados matemáticos.

    1. El número -4 está a una distancia de 4 unidades de 0 en la recta numérica.
    2. El número -63 está a más de 4 unidades de 0 en la recta numérica.
    3. El número 4 es mayor que el número -4.
    4. Los números 4 y -4 están a la misma distancia de 0 en la recta numérica.
    5. El número -63 es menor que el número 4.
    6. El número -63 está más lejos de 0 que el número 4 en la recta numérica.
    1. |\text-63| > 4
    2. \text-63 < 4
    3. |\text-63| > |4|
    4. |\text-4| = 4
    5. 4 > \text-4
    6. |4| = |\text-4|

  3. Compara cada par de expresiones usando >, < o =.

    1. \text-32  _____ 15

    2. |\text-32| _____ |15|

    3. 5 _____ \text-5

    4. |5| _____ |\text-5|

    1. 2 _____ \text-17

    2. 2 _____ |\text-17|

    3. |\text-27| _____ |\text-45|

    4. |\text-27| _____ \text-45

  4. Mai recibió y gastó dinero de la siguiente manera el mes pasado. Para cada ejemplo, escribe un número con signo para representar la variación en dinero desde su perspectiva.

    1. Su abuela le regaló $25 en una tarjeta de cumpleaños.
    2. Ella ganó $14 dólares por el servicio de niñera.
    3. Ella gastó $10 en una boleta para un concierto.
    4. Ella donó $3 a una organización benéfica local.
    5. Ella recibió $2 de intereses sobre el dinero que tenía en su cuenta de ahorros.

  5. Estas son las temperaturas más bajas registradas en los últimos 2 siglos en algunas ciudades de EE.UU. Las temperaturas están en grados Fahrenheit.

    • Death Valley, CA: -45 en enero de 1937.
    • Danbury, CT:-37 en febrero de 1943.
    • Monticello, FL: -2 en febrero de 1899.
    • East Saint Louis, IL: -36 en enero de 1999.
    • Greenville, GA: -17 en enero de 1940.
    1. ¿Cuál de estos estados tiene el registro más bajo de temperatura?
    2. Qué estado tiene un registro más bajo de temperatura, ¿FL o GA?
    3. Qué estado tiene un registro más bajo de temperatura, ¿CT o IL?
    4. ¿El registro de temperatura de GA cuántos grados más frío es que el registro de FL? 

  6. Encuentra los siguientes cocientes:

    1. 0.024 \div 0.015
    2. 0.24 \div 0.015
    3. 0.024 \div 0.15
    4. 24 \div 15