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Lección 5El tamaño del factor de escala

Veamos qué efectos tienen los diferentes factores de escala.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo describir el efecto que tiene sobre una copia a escala usar un factor de escala que es mayor que 1, menor que 1 o igual a 1.
  • Puedo explicar cómo se relaciona el factor de escala que lleva la figura A a su copia, la figura B, con el factor de escala que lleva la figura B a la figura A.

5.1 Conversación numérica: factor desconocido

Resuelve mentalmente cada ecuación.

16x=176

16x=8

16x=1

\frac15x=1

\frac25x=1

5.2 Clasificación de tarjetas de copias a escala

Tu profesor te dará un grupo de tarjetas. En cada tarjeta, la figura A es la original y la figura B es la copia a escala.

  1. Clasifica las tarjetas con base en sus factores de escala. Prepárate para explicar tu razonamiento.

  2. Analiza las tarjetas 10 y 13 con más atención. ¿Qué observas sobre las figuras y tamaños de las figuras? ¿Qué observas sobre los factores de escala?

  3. Analiza las tarjetas 8 y 12 con más atención. ¿Qué observas sobre las figuras? ¿Qué observas sobre los factores de escala?

¿Estás listo para más?

El triángulo B es una copia a escala del triángulo A con factor de escala  \frac12 .

  1. ¿Cuántas veces mayores son las longitudes de los lados del triángulo B cuando se comparan con las del triángulo A?
  2. Imagina que redimensionas el triángulo B según un factor de escala de  \frac12 para obtener el triángulo C. ¿Cuántas veces mayores serán las longitudes de los lados del triángulo C cuando se comparen con las del triángulo A?
  3. El triángulo B se ha redimensionado 1 vez. El triángulo C se ha redimensionado dos veces. Imagina que redimensionas el triángulo A n veces y obtienes el triángulo N, siempre usando un factor de escala de  \frac12 . ¿Cuántas veces mayores serán las longitudes de los lados del triángulo N cuando se comparen con las del triángulo A?

5.3 Cambiemos la escala de un rompecabezas

Tu profesor te dará 2 piezas de un rompecabezas de 6 piezas. 

  1. Si dibujaras copias a escala de las piezas del rompecabezas usando un factor de escala de  \frac12 , ¿serían más grandes o más pequeñas que las piezas originales? ¿Cómo lo sabes?
  2. Crea una copia a escala de cada pieza del rompecabezas sobre un cuadrado en blanco, con un factor de escala de  \frac12 .
  3. Cuando todos en tu grupo hayan acabado, organicen las 6 piezas del rompecabezas original de a siguiente manera:
    A grid with 2 rows, 3 columns. First row is 1, 2, 3, and second row is 4, 5, 6.
    Después pongan las 6 copias a escala juntas. Comparen el rompecabezas a escala con el rompecabezas original. ¿Qué partes parecen estar redimensionadas correctamente y cuáles parecen estar mal? ¿Qué puede haber hecho que esas partes estén mal?
  4. Revisen cualquier copia a escala que se pueda haber dibujado de forma incorrecta. 
  5. Si perdieran una de las piezas del rompecabezas original, pero aún tuviesen la copia a escala, ¿cómo podrían crear de nuevo la pieza perdida?

5.4 Figura, factor o copia desconocidos

  1. ¿Cuál es el factor de escala que lleva el triángulo original a su copia? Explica o muestra tu razonamiento. 

    ​
    On a grid. Original triangle has sides of length 5, 5, and a diagonal length of down 5, over 5. The copy has side lengths of 1, 1, and a diagonal length of down 1, over 1.

  2. El factor de escala que lleva el trapecio original a su copia es 2. Dibuja la copia a escala. 

    All side lengths of original figure are diagonal on the grid.Top is down 1, right 1.Right side is down 2, left 1. Bottom is left 2, up 2. Left side is up 1, right 2. Copy needs to be drawn.
  3. El factor de escala que lleva la figura original a su copia es \frac32 . Dibuja la figura original.
    Original needs to be drawn. The copy is on a grid and shaped like a 9 with an overall height of 6. The top of the 9 is the outline of a 3 by 3 box. The bottom horizontal is 3 units.
  4. ¿Cuál es el factor de escala que lleva el triángulo original a su copia? Explica por qué lo sabes.
    the first line segment starts at the top left of the grid, slants downward 2 squares and to the right one square; the second line segment begins where the first ends, slants upward 2 squares and to the right 1 square; the third line segment beins where the second ends, slants downward 4 squares and to the right 2 squares; the fourth line segment begins where the third ends, slants upward 4 squares and to the right 2 squares.
  5. El factor de escala que lleva la figura original a su copia es 3. Dibuja la copia a escala.
    A triangle with the horizontal side extended to the right and the vertical side extended upward creating a figure that resembles the number 4. The figure is labeled original. On the right, the position labeled copy is blank.

Resumen de la lección 5

El tamaño del factor de escala afecta el tamaño de la copia. Cuando una figura se redimensiona por un factor de escala mayor que 1, la copia es más grande que la original. Cuando el factor de escala es menor que 1, la copia es más pequeña. Cuando el factor de escala es exactamente 1, la copia tiene el mismo tamaño que la original. 

El triángulo DEF es una copia a escala más grande que el triángulo ABC , porque el factor de escala de  ABC a  DEF es  \frac32 . El triángulo  ABC es una copia a escala más pequeña que el triángulo  DEF , porque el factor de escala de DEF a  ABC es  \frac23 .

Two triangles; one labeled A B C with horizontal A B and the other D E F with horizontal D E. The length of A B is labeled 4. The length of B C is labeled 3. The length of C A is labeled 5. The length of D E is labeled 6. The length of E F is labeled 4.5. The length of F D is labeled 7.5. An arrow from triangle A B C pointing to triangle D E F is labeled, times 3 halves. An arrow from triangle D E F pointing to triangle A B C is labeled times 2 thirds.

Esto significa que los triángulos  ABC y  DEF son copias a escala uno del otro. Esto también muestra que el redimensionamiento se puede revertir usando factores recíprocos como  \frac23 y  \frac32 .

En otras palabras, si redimensionamos la figura A usando un factor de escala de 4 para crear la figura B, podemos redimensionar la figura B usando el factor de escala recíproco,  \frac14 , para crear la figura A.

Problemas de práctica de la lección 5

  1. Los rectángulos P, Q, R y S son copias a escala los unos de los otros. Para cada par, decide si el factor de escala de uno al otro es mayor que 1, menor que 1 o igual a 1.

    Four rectangles, labeled P, Q, R and S. Each rectangle is a scaled copy of one another. Ranked in order from least to greatest, the area of the rectangles are as follows: the area of P is equal to S, which are less than the area of Q, which is less than the area of R.
    1. de P a Q
    2. de P a R
    3. de Q a S
    4. de Q a R
    5. de S a P
    6. de R a P
    7. de P a S

  2. El triángulo S y el triángulo L son copias a escala uno del otro.

    1. ¿Cuál es el factor de escala de S a L?

    2. ¿Cuál es el factor de escala de L a S?

    3. El triángulo M también es una copia a escala de S. El factor de escala de S a M es  \frac{3}{2} . ¿Cuál es el factor de escala de M a S?

    Two triangles labeled S and L on a grid. Triangle S has a horizontal base of 2 units and a height of 4 units. Triangle L has a horizontal base of 4 units and a height of 8 units.

  3. ¿Dos cuadrados que tienen la misma longitud de lado son copias a escala el uno del otro? Explica tu razonamiento.

  4. Las longitudes de los lados del cuadrilátero A son 2, 3, 5 y 6. Las longitudes de los lados del cuadrilátero B son 4, 5, 8 y 10. ¿Uno de los cuadriláteros podría ser una copia a escala del otro? Explica.

  5. Selecciona todas las razones que sean equivalentes a la razón 12:3 . Explica cómo lo sabes.

    1. 6:1
    2. 1:4
    3. 4:1
    4. 24:6
    5. 15:6
    6. 1,\!200:300
    7. 112:13