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Lección 4Relaciones a escala

Encontremos relaciones entre copias a escala.

Metas de aprendizaje:

  • Cuando veo una figura y su copia a escala, puedo explicar qué es verdad sobre las distancias correspondientes.
  • Cuando veo una figura y su copia a escala, puedo explicar qué es verdad sobre los ángulos correspondientes.
  • Puedo usar distancias correspondientes y ángulos correspondientes para saber si una figura es una copia a escala de otra.

4.1 Tres cuadriláteros (Parte 1)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los demás.

Polygon A, B, C, D. Polygon E, F, G, H. Polygon I, J, K, L.
  1. Nombra dos parejas de ángulos correspondientes. ¿Qué puedes decir sobre el tamaño de estos ángulos?
  2. Verifica tu predicción midiendo por lo menos una pareja de ángulos correspondientes con un transportador. Escribe tus mediciones aproximando al múltiplo de 5^\circ más cercano.

4.2 Tres cuadriláteros (Parte 2)

Cada uno de estos polígonos es una copia a escala de los otros. Ya revisaste sus ángulos correspondientes.

  1. Es difícil encontrar las longitudes de lado de los polígonos a partir de la cuadrícula, pero hay otras distancias correspondientes que son más fáciles de comparar. Identifica las distancias de los otros dos polígonos que corresponden a  DB y  AC y escríbelas en la tabla.
    cuadrilátero distancia que corresponde a DB distancia que corresponde a AC
    ABCD DB = 4 AC = 6
    EFGH
    IJKL

  2. Mira los valores de la tabla. ¿Qué observas?

    Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo.

  3. La figura más grande es una copia a escala de la figura más pequeña.

    Both figures resemble the letter W. Tracing each, the smaller figure's vertices in order are A, B, C, D, E. The length of segment A, B is 6. The larger W is H, I, J, K, L. The length of segment H, I is 15.
    1. Si AE = 4 , ¿qué tan larga es la distancia correspondiente de la segunda figura? Explica o muestra tu razonamiento.
    2. Si IK = 5 , ¿qué tan larga es la distancia correspondiente de la primera figura? Explica o muestra tu razonamiento.

4.3 ¿Está a escala o no?

Estos son dos cuadriláteros:

Two quadrilaterals on a coordinate plane. The first figure is labeled JXNY. Point X is 2 units to the left and 8 units up from point J. Point N is 2 units to the right and 1 unit up from point X. Point Y is 4 units to the right and 1 unit down from point N. Point J is 4 units to the left and 8 units down from point Y. Point N is directly above point J. The second figure is labeled ZHCS. Point Z is 1 unit to the left and 5 units up from point S. Point H is 1 unit to the right and 1 unit up from point Z. Point C is 3 units to the right and 1 unit down from point H. Point S is 3 units to the left and 5 units down from point C. Point H is directly above point S.
  1. Mai dice que el polígono ZSCH es una copia a escala del polígono  XJYN , pero Noah no está de acuerdo. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.
  2. Registra las distancias correspondientes en la tabla. ¿Qué observas?
    cuadrilátero distancia horizontal distancia vertical
    XJYN XY = \phantom{33} JN = \phantom{33}
    ZSCH ZC = \phantom{33} SH = \phantom{33}
  3. Mide al menos tres pares de ángulos correspondientes de  XJYN y  ZSCH usando un transportador. Escribe tus mediciones al múltiplo de 5^\circ más cercano. ¿Qué puedes observar?
  4. ¿Estos resultados cambian tu respuesta a la primera pregunta? Explica.

Estos son otros dos cuadriláteros.

The angle measures, in degrees, for both trapezoids are: 60, 60, 120, 120. In A, B, C, D, the top length is 2, bottom length is 6, both sides lengths are 4. In E, F, G, H, the top length is 1, bottom length is 4 and both side lengths are 3.
  1. Kiran dice que el polígono EFGH es una copia a escala de  ABCD , pero Lin no está de acuerdo. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Todas las longitudes de lado del cuadrilátero  MNOP son 2 y todas las longitudes de lado del cuadrilátero QRST son 3. ¿ MNOP tiene que ser una copia a escala de  QRST ? Explica tu razonamiento.

4.4 Comparemos fotos de pájaros

Estas son dos fotos de un pájaro. Encuentra evidencias de que una foto no es una copia a escala de la otra. Prepárate para explicar tu razonamiento.

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Resumen de la lección 4

Cuando una figura es una copia a escala de otra figura, sabemos que:

  1. Todas las distancias en la copia se pueden encontrar multiplicando las distancias correspondientes de la figura original por el mismo factor de escala, sin importar si los puntos están unidos por un segmento o no.

    Por ejemplo, el polígono  STUVWX es una copia a escala del polígono  ABCDEF . El factor de escala es 3. La distancia de  T a  X es 6, que es tres veces la distancia de B a  F .

  1. Todos los ángulos de la copia tienen la misma medida que los ángulos correspondientes de la figura original, como en estos triángulos.
Original triangle has angle measures 42, 60, and 78 degrees. The larger, scaled version of the triangle has angle measures 42, 60, and 78 degrees.

Estas observaciones pueden ayudar a explicar por qué una figura no es una copia a escala de la otra.

Por ejemplo, aunque sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, el segundo rectángulo no es una copia a escala del primer rectángulo porque hay diferentes parejas de longitudes correspondientes que tienen diferentes factores de escala,  2 \boldcdot \frac12 = 1 pero  3 \boldcdot \frac23 = 2 .

The first rectangle has height 2 and length 3. The second rectangle has height 1 and length 2.

Problemas de práctica de la lección 4

  1. Elige todas las afirmaciones que sean verdaderas para cualquier copia a escala Q del polígono P.

    Angle measures of Polygon P clockwise from bottom left, in degrees, 90, 125, 35, 250, 80, 135.

    1. Las longitudes de lado son número enteros.

    2. Las medidas de los ángulos son número enteros.

    3. Q tiene exactamente 1 ángulo recto. 

    4. Si el factor de escala entre P y Q es \frac15 , entonces cada longitud de lado de P se multiplica por  \frac15 para obtener la longitud de lado correspondiente de Q.

    5. Si el factor de escala es 2, cada ángulo de P se multiplica por 2 para obtener el ángulo correspondiente en Q.

    6. Q tienes 2 ángulos agudos y 3 ángulos obtusos.

  2. Este es el cuadrilátero ABCD .

    Quadrilateral ABCD is on a grid. Point a is 2 units right and 4 units down from the edge of the grid. Point B is 2 units right and 2 units up from point A. Point C is 6 units right from point A. Point D is 2 units right and 4 units down from point A.

    El cuadrilátero PQRS es una copia a escala del cuadrilátero  ABCD . El punto  P corresponde a A , Q a  B , R o a  C , y  S a  D .

    Si la distancia de  P a  R es 3 unidades, ¿cuál es la distancia de  Q a  S ? Explica tu razonamiento.

  3. La figura 2 es una copia a escala de la figura 1.

    Two 4-sided figures in a coordinate plane labeled Figure 1 and Figure 2. Figure 1 has four points. Point A is 3 units to the left and 2 units up from the bottom-right point. The top-right point is 1 unit up and 3 units to the right of point A. Point C is 1 unit down and 1 unit to the left of the top-right point. The bottom-right point is 1 unit to the right and 2 units down from point C. The bottom-right point is directly below the top-right point. Lines are drawn connecting point A to the top-right point, the top-right to C, C to the bottom-right point, and the bottom-right to A. Figure 2 also has four points. The left-most point is 9 units to the left and 6 units up from point S. Point Q is 3 units up and 9 units to the right of the left-most point. A fourth point is 3 units down and 3 units to the left of point Q. Point S is 3 units to the right and 6 units down from the fourth point. Point S is directly below point Q. Lines are drawn connecting the left-most point to Q, Q to the fourth point, the fourth point to S, and S to the left-most point.
    1. Identifica los puntos de la figura 2 que corresponden a los puntos A y C en la figura 1. Llámalos P y R . ¿Cuál es la distancia entre P y R ? 
    2. Identifica los puntos de la figura 1 que corresponden a los puntos Q y S en la figura 2. Llámalos B y D . ¿Cuál es la distancia entre B y D ? 
    3. ¿Cuál es el factor de escala que lleva la figura 1 a la figura 2?
    4. G y  H son dos puntos de la figura 1, pero no se muestran. La distancia entre G y H es 1. ¿Cuál es la distancia que hay entre los puntos correspondientes de la figura 2?

  4. Para hacer 1 tanda de pintura lavanda, la razón de tazas de pintura rosada a tazas de pintura azul es 6 a 5. Encuentra otras dos razones de tazas de pintura rosada a tazas de pintura azul que sean equivalentes a esta razón.