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Lección 10Introducción a las gráficas de las relaciones proporcionales

Veamos en qué se diferencian las gráficas de las relaciones proporcionales y las gráficas de otras relaciones.

Metas de aprendizaje:

  • Sé que la gráfica de una relación proporcional está sobre una recta que pasa por (0,0) .

10.1 Observa estos puntos

Grafica los puntos. ¿Qué observas sobre la gráfica?

(0,10), (1,8), (2,6), (3,4), (4,2)

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10.2 Camisetas en venta

Unas camisetas cuestan $8 cada una.

  1. Utiliza la tabla para responder estas preguntas.

    1. ¿Qué representa  x ?
    2. ¿Qué representa  y ?
    3. ¿Hay una relación proporcional entre  x y  y ?
    x   y  
    1 8
    2 16
    3 24
    4 32
    5 40
    6 48
  2. Grafica las parejas en la tabla sobre el plano de coordenadas. 
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  3. ¿Qué observas sobre la gráfica?

10.3 Emparejemos tablas y gráficas

El profesor les dará tarjetas que muestran tablas y gráficas.

  1. Examinen las gráficas detenidamente. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las gráficas?
  2. Clasifiquen las gráficas en categorías de su elección. Etiqueten cada categoría. Prepárense para explicar por qué organizaron las gráficas de la manera que lo hicieron. 

  3. Tomen turnos con su compañero para emparejar una tabla con una gráfica.

    1. Por cada pareja que encuentren, explíquenle a su compañero cómo saben que es una pareja.
    2. Por cada pareja que encuentre su compañero, escuchen con atención su explicación. Si no están de acuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. 

    Hagan una pausa para que el profesor pueda revisar su trabajo.

  4. Intercambien lugares con otro grupo. ¿En qué se parecen las categorías del otro grupo a las suyas? ¿En qué se diferencian? 
  5. Vuelvan a su lugar original. Discutan todos los cambios que deseen hacer a sus categorías con base en lo que hizo el otro grupo. 
  6. ¿Cuáles de las relaciones son proporcionales?
  7. ¿Qué han observado sobre las gráficas de relaciones proporcionales? ¿Creen que esto será válido para todas las gráficas de relaciones proporcionales?

¿Estás listo para más?

  1. Todas las gráficas en esta actividad muestran puntos en los que ambas coordenadas son positivas. ¿Tendría sentido que alguna de ellas tenga una o más coordenadas que fueran negativas?
  2. La ecuación de una relación proporcional es de la forma  y = kx , donde  k es un número positivo, y su gráfica es una recta que pasa por  (0,0) . ¿Cómo se vería la gráfica si k fuera un número negativo?

Resumen de la lección 10

Una forma de representar una relación proporcional es con una gráfica. Esta es una gráfica que representa diferentes cantidades que se ajustan a la situación, "costo de los arándanos $6 por libra".

Diferentes puntos en la gráfica nos dicen, por ejemplo, que 2 libras de arándanos cuestan $12 y 4.5 libras de arándanos cuestan $27.

Algunas veces tiene sentido unir los puntos con una recta y algunas veces no. Podríamos comprar, por ejemplo, 4.5 libras de arándanos o 1.875 libras de arándanos, por lo que todos los puntos en medio de los números enteros tienen sentido en la situación y, por lo tanto, cualquier punto sobre la recta es significativo.

Si la gráfica representara el costo para diferentes cantidades de sándwiches (en lugar de libras de arándanos), podría no tener sentido unir los puntos con una recta, porque normalmente no es posible comprar 4.5 sándwiches o 1.875 sándwiches. Sin embargo, incluso si solo algunos puntos tienen sentido en la situación, algunas veces unimos los puntos con una recta para que sea más fácil ver la relación

Todas las gráficas que representan relaciones proporcionales tienen unas cuantas cosas en común:

  • Los puntos que satisfacen la relación están sobre una línea recta. 
  • La recta sobre la que están los puntos pasa por el origen, (0,0) .

Estas son algunas gráficas que no representan relaciones proporcionales:

Seven points plotted in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The x axis has the numbers 0 through 7 indicated. The y axis has the numbers 0 through 6 indicated. The points with coordinates 1 comma 1, 2 comma 3, 3 comma 4, 4 comma 4 point 5, 5 comma 5, 6 comma 5 point 1, and 7 comma 5 point 2 are indicated.

Estos puntos no están sobre una recta.

Esta es una recta, pero no pasa por el origen.

Términos del glosario

origen

El origen es el punto (0,0) en el plano de coordenadas. Es el punto en el cual se intersecan el eje horizontal y el eje vertical.

Problemas de práctica de la lección 10

  1. ¿Qué gráficas podrían representar una relación proporcional? Explica cómo lo decidiste.

    Four graphs of curves labeled A, B, C, and D in the xy coordinate plane with the origin labeled “O”. For each graph, the x axis has the numbers 0, 5, and 10 indicated. The y axis has the numbers 0 and 5. In graph A, the curve is a line that begins at the origin and moves steadily upward and to the right. In graph B, the curve begins at the origin and moves upward and to the right. It moves slowly in the beginning and then goes steeply upward. In graph C, the curve is a line that begins at the origin and moves slowly upward and to the right. In graph D, the curve is a line that begins on the vertical axis and above the origin. It moves slowly upward and to the right.

  2. Una receta de limonada requiere  \frac14 de taza de jugo de limón por cada taza de agua.

    1. Utiliza la tabla para responder estas preguntas.
      1. ¿Qué representa  x ?
      2. ¿Qué representa  y ?
      3. ¿Hay una relación proporcional entre x y  y ?
    2. Grafica las parejas de la tabla en un plano de coordenadas. 
    x y
    1 \frac14
    2 \frac12
    3 \frac34
    4 1
    5 1\frac14
    6 1\frac12

  3. Decide si cada una de las tablas podría representar una relación proporcional. Si la relación puede ser proporcional, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad?

    1. Los tamaños en los que se puede imprimir una foto:

      ancho de la foto (pulgadas) altura de la foto (pulgadas)
      2 3
      4 6
      5 7
      8 10

    2. La distancia desde la cual un faro es visible:

      altura del faro (pies) distancia desde la cual se ve (millas)
      20 6
      45 9
      70 11
      95 13
      150 16

  4. Elige todos los datos que te dirían que  x y  y tienen una relación proporcional. Llamemos  y a la distancia entre una roca y la posición actual de una tortuga en metros y  x representa el número de minutos que la tortuga se ha estado moviendo.

    1. y = 3x
    2. Después de 4 minutos, la tortuga se ha alejado 12 pies de la roca.
    3. La tortuga camina un rato, luego para un minuto antes de caminar nuevamente.
    4. La tortuga se aleja de la roca a una tasa constante.