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Lección 9Resolvamos problemas sobre relaciones proporcionales

Resolvamos problemas sobre relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo hacer preguntas para determinar si dos cantidades están en una relación proporcional.
  • Puedo resolver todo tipo de problemas que involucran relaciones proporcionales.

9.1 ¿Qué quieres saber?

Considera el problema: una persona está corriendo una distancia en una carrera a una tasa constante. ¿A qué horas acabará la carrera?

¿Qué información necesitarías para poder solucionar el problema?

9.2 Falta de información: bicicletas y lluvia

El profesor te dará o una tarjeta de problema o una tarjeta de datos. No le muestres tu tarjeta a tu compañero ni se la leas.

Si tu profesor te da la tarjeta de problema:

  1. Lee tu tarjeta en silencio y piensa qué información necesitas para contestar la pregunta.
  2. Pide a tu compañero la información específica que necesitas.
  3. Explica a tu compañero cómo vas a usar esa información para resolver el problema.
  4. Resuelve el problema y explica tu razonamiento a tu compañero.

Si tu profesor te da la tarjeta de datos:

  1. Lee la información de tu tarjeta en silencio.
  2. Pregunta a tu compañero: "¿Qué información específica necesitas?". Espera a que tu compañero te pida la información. Dale únicamente la información que esté en la tarjeta (¡no le ayudes a descifrar nada a tu compañero!).
  3. Antes de darle la información a tu compañero, pregúntale "¿por qué necesitas esa información?".
  4. Luego de que tu compañero resuelva el problema, pídele que te explique su razonamiento y escucha su explicación.
Haz una pausa acá para que tu profesor pueda revisar tu trabajo. Pide a tu profesor un nuevo juego de tarjetas y repite la actividad, intercambiando roles con tu compañero.

9.3 Revisión de comentarios

Una compañía está contratando gente para que lea todos los comentarios que se hacen en su página web y asegurar que sean apropiados. Cuatro personas se postularon para el trabajo y se les dio un día para mostrar qué tan rápido podían revisar los comentarios.

  • La persona 1 trabajó 210 minutos y revisó un total de 50,000 comentarios.
  • La persona 2 trabajó 200 minutos y revisó 1,325 comentarios cada 5 minutos.
  • La persona 3 trabajó durante 120 minutos, a una tasa representada por c = 331t ,
    donde c es el número de comentarios revisados y  t es el tiempo en minutos.
  • La persona 4 trabajó durante 150 minutos, a una tasa representada por t = \left( \frac{3}{800} \right) c .
  1. Ordena las personas de mayor a menor, en términos del número total de comentarios revisados.
  2. Ordena las personas de mayor a menor, en términos de qué tan rápido revisaron los comentarios.

¿Estás listo para más?

  1. Escribe ecuaciones para cada aspirante al empleo que te permitan decidir fácilmente quién está trabajando más rápido.
  2. Haz una tabla que te permita comparar con facilidad cuántos comentarios puede revisar cada aspirante al trabajo.

Resumen de la lección 9

Siempre que tengamos una relación que involucre tasas constantes, es probable que tengamos una relación proporcional entre las cantidades.

  • Cuando un pájaro vuela a una rapidez constante, hay una relación proporcional entre el tiempo de vuelo y la distancia recorrida.
  • Si una bañera se está llenando a una tasa constante, hay una relación proporcional entre la cantidad de agua en la bañera y el tiempo en que se ha estado llenando.
  • Si un cerdo hormiguero está comiendo termitas a una tasa constante, hay una relación proporcional entre el número de termitas que ha comido y el tiempo desde que empezó a comer.

Algunas veces se nos presenta una situación y no es claro si una relación proporcional es un buen modelo para ella. ¿Cómo podemos decidir si una relación proporcional es una buena representación de una situación particular?

  • Si no estás seguro por dónde empezar, mira los cocientes de los valores correspondientes. Si no siempre son iguales, entonces la relación definitivamente no es proporcional.
  • Si puedes ver que hay un solo valor que siempre multiplicamos por una cantidad para obtener la otra cantidad, entonces definitivamente es una relación proporcional.

Luego de decidir que es una relación proporcional, construir una ecuación suele ser la manera más eficiente de solucionar problemas relacionados con esa situación.

Problemas de práctica de la lección 9

  1. En cada situación, explica si crees que la relación es o no proporcional. Explica tu razonamiento.

    1. El peso de una pila de papel estándar de 8.5x11 versus el número de hojas de papel.
    2. El peso de una pila de libros de distintos tamaños versus el número de libros en la pila.
    An image of a stack of copier paper.
    “Paper ream” por Bluesnap vía Pixabay. Dominio público.
    An image of 5 different-sized books, stacked on top of one another.
    “Stack of books” por Hermann vía Pixabay. Dominio público.

  2. Cada paquete de cierto juguete también incluye 2 baterías.

    1. ¿El número de juguetes y el número de baterías están en una relación proporcional? De ser así, ¿cuáles son las dos constantes de proporcionalidad? Si no, explica tu razonamiento.
    2. Usa t para el número de juguetes y b para el número de baterías para escribir dos ecuaciones que relacionen las dos variables. 

      b =

      t =

  3. Lin y su hermano nacieron en la misma fecha en años distintos. Lin tenía 5 años cuando su hermano tenía 2.

    1. Encuentra sus edades en diferentes años llenando la tabla.
      edad de Lin edad de su hermano
      5 2
      6
      15
      25
    2. ¿Hay una relación proporcional entre la edad de Lin y la edad de su hermano? Explica tu razonamiento.

  4. Un estudiante argumenta que y=\frac{x}{9} no representa una relación proporcional entre x y  y porque se necesita multiplicar una variable por la misma constante para obtener la otra y no dividirla entre una constante. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con este estudiante?

  5. Las longitudes de los lados del cuadrilátero A son 3, 4, 5 y 6. El cuadrilátero B es una copia a escala del cuadrilátero A con un factor de escala de 2. Selecciona todas las opciones que sean longitudes de los lados del cuadrilátero B.

    1. 5
    2. 6
    3. 7
    4. 8
    5. 9