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Lección 13Dos gráficas para cada relación

Usemos tablas, ecuaciones y gráficas para responder preguntas sobre relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo escribir una ecuación que representa una relación proporcional a partir de una gráfica.
  • Puedo interpretar una gráfica de una relación proporcional usando la situación.

13.1 Verdadero o falso: fracciones y decimales

Decide si cada ecuación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. \frac32\boldcdot 16 = 3\boldcdot 8
  2. \frac34\div\frac12 = \frac64\div\frac14
  3. (2.8)\boldcdot (13) = (0.7)\boldcdot (52)

13.2 Tablas, gráficas y ecuaciones

Explora la gráfica. Observa los valores en la tabla y las coordenadas del punto marcado. Selecciona el punto y muévelo. 

  1. ¿Qué permanece igual y qué cambia en la tabla?, ¿en la ecuación?, ¿en la gráfica?
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  1. Elige una fila en la tabla y escríbela aquí. ¿A qué corresponde esta fila en la gráfica?
x y

Sostén el punto y arrástralo hasta que veas la ecuación  y=\frac 32 x .

  1. No muevas el punto. Elige tres filas de la tabla, diferentes al origen. Escribe  x y  y , y calcula  \frac yx .
x y \frac{y}{x}
  1. ¿Qué observas? ¿Qué tiene que ver esto con la ecuación de la recta?
  1. No muevas el punto. Marca la casilla para ver las coordenadas  (1, ?) . ¿Cuáles son las coordenadas de este punto? ¿A qué corresponde esto en la tabla? ¿A qué corresponde esto en la ecuación?
  1. Arrastra el punto hasta una ubicación diferente. Escribe la ecuación de la recta, las coordenadas de tres puntos y el valor de \frac yx .

Ecuación de la recta: _______________________________

x y \frac{y}{x}
  1. Con base en tus observaciones, resume todas las conexiones que hayas visto entre la tabla, las características de la gráfica y la ecuación. 

¿Estás listo para más?

La gráfica de una ecuación de la forma  y = kx , donde  k es un número positivo, es una recta que pasa por  (0,0) y el punto  (1,k) .

  1. Nombra al menos una recta que pase por (0,0) que no pueda ser representada por una ecuación como esta.
  2. Si pudieras dibujar las gráficas de todas las ecuaciones de esta forma en el mismo plano de coordenadas, ¿cómo se verían? 

13.3 Concurso de comer perros calientes

Andre y Jada participaron en un concurso de comer perros calientes. Andre comió 10 perros calientes en 3 minutos. Jada comió 12 perros calientes en 5 minutos.

  1. Los puntos que aparecen en el primer par de ejes muestran información sobre lo que comieron Andre y Jada. ¿cuál punto muestra lo que comió Andre y cuál muestra lo que comió Jada? Márcalos.

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  2. Dibuja dos rectas: una que pasa por el origen y el punto de Andre, y otra que pasa por el origen y el punto de Jada. Escribe una ecuación para cada recta. Utiliza  t para representar el tiempo en minutos y  h para representar el número de perros calientes.

  3. ¿Qué te dice la constante de proporcionalidad en cada caso?

  4. Los puntos que aparecen en el segundo par de ejes muestran información sobre lo que comieron Andre y Jada. ¿cuál punto muestra lo que comió Andre y cuál muestra lo que comió Jada? Márcalos.

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  5. Dibuja rectas desde el origen que pasen por cada uno de los dos puntos. Escribe una ecuación para cada recta. ¿Qué te dice la constante de proporcionalidad en cada caso?

Resumen de la lección 13

Imagina que un grifo tiene una gotera: está goteando a una tasa constante y cada 2 minutos, 10 mililitros de agua gotean del grifo. Existe una relación proporcional entre el volumen de agua y el tiempo transcurrido.

  • Podríamos decir que el tiempo transcurrido es proporcional al volumen de agua. La constante de proporcionalidad correspondiente nos indica que el grifo gotea a una tasa de  \frac15 de un minuto por cada mililitro.
  • Podríamos decir que el volumen de agua es proporcional al tiempo transcurrido. La constante de proporcionalidad correspondiente nos indica que el grifo gotea a una tasa de 5 mililitros por cada minuto. 

Utilicemos  v para representar el volumen en mililitros y t para representar el tiempo en minutos. Estas son las gráficas y las ecuaciones que representan ambas maneras de pensar sobre esta relación:

Two line graphs: The first line graph has a horizontal v-axis and a vertical t-axis. The line begins at the origin and moves upwards and to the right passing through the points with coordinates (1, 1/5) and (10, 2). The graph is labeled with the equation t=1/5v. The second line graph has a horizontal t-axis and vertical v-axis. The line begins at the origin and moves upwards and to the right passing through the points with coordinates (1,5) and (2,10). The graph is labeled with the equation v =5t.

Aunque la relación entre tiempo y volumen es la misma, en cada caso estamos haciendo una elección distinta de cuál variable ver como la variable independiente. La gráfica a la izquierda tiene a v como la variable independiente y la gráfica a la derecha tiene a  t como la variable independiente.

Problemas de práctica de la lección 13

  1. En el supermercado puedes llenar tu propio envase con forma de oso para la miel. Un cliente compra 12 onzas de miel por $5.40.

    1. ¿Cuánto cuesta la miel por onza?
    2. ¿Cuánta miel puedes comprar por cada dólar?
    3. Escribe dos ecuaciones diferentes que representen esta situación. Utiliza h para las onzas de miel y  c para el costo en dólares.
    A blank set of coordinate axes.
    1. Elige una de tus ecuaciones y dibuja su gráfica. Asegúrate de etiquetar los ejes. 

  2. El punto  (3, \frac65) está en la gráfica que representa una relación proporcional. ¿Cuáles de los siguientes puntos también están en la misma gráfica? Selecciona todos los que correspondan.

    1. (1, 0.4)
    2. (1.5, \frac{6}{10})
    3. (\frac65, 3)
    4. (4, \frac{11}{5})
    5. (15, 6)

  3. La receta de una mezcla de frutos secos requiere 4 tazas de uvas pasas por cada 6 tazas de maní. Existe una relación proporcional entre la cantidad de uvas pasas,  r (tazas), y la cantidad de maní,  p (tazas), en esta receta.

    1. Escribe la ecuación para la relación que tiene una constante de proporcionalidad mayor que 1. Grafica la relación.
    2. Escribe la ecuación para la relación que tiene una constante de proporcionalidad menor que 1. Grafica la relación.

  4. Esta es una gráfica que representa una relación proporcional.

    1. Inventa una situación que podría ser representada por esta gráfica.
    2. Etiqueta los ejes con las cantidades en tu situación.
    3. Ponle un título a la gráfica.
    4. Elige un punto en la gráfica. ¿Qué representan las coordenadas en tu situación?
    A line is graphed in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The x axis has the numbers 0 through 20, in increments of 2, indicated. The y axis has the numbers 0 through 20, in increments of 2, indicated. The line begins at the origin. It moves gradually upward and to the right passing through the point with coordinates 8 comma 6. There is also a point indicated on the line and the coordinates of that point have integer values.
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