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Lección 3Más sobre la constante de proporcionalidad

Usemos tablas para resolver más problemas que involucren relaciones proporcionales.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar información que falta en una relación proporcional usando una tabla.
  • Puedo encontrar la constante de proporcionalidad a partir de información dada en una tabla.

3.1 Medidas iguales

Usa los números y las unidades de la lista para encontrar tantas medidas equivalentes como puedas. Por ejemplo, podrías escribir: "30 minutos son  \frac12 hora". 

Puedes usar los números y las unidades más de una vez.

1

12

0.4

60

50

\frac{1}{2}

40

0.01

3\frac{1}{3}

30

0.3

24

\frac{1}{5}

6

2

centímetro

metro

hora

pie

minuto

pulgada

3.2 Centímetros y milímetros

Existe una relación proporcional entre cualquier longitud medida en centímetros y la misma longitud medida en milímetros.

A ruler where the top half is labeled "centimeters" and the numbers 0 through 5 are indicated on 5 evenly spaced tick marks. The bottom half is labeled "millimeters" and the numbers 0 through 50, in increments of 10, are indicated on 5 evenly spaced tick marks that are placed identical to the top tick marks. There are 9 evenly spaced tick marks between each labeled tick mark.

Hay dos maneras de pensar en esta relación proporcional.

  1. Si se conoce la longitud de algo en centímetros, se puede calcular su longitud en milímetros. 

    1. Completa la tabla.
    2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
longitud (cm) longitud (mm)
9
12.5
50
88.49

  1. Si se conoce la longitud de algo en milímetros, se puede calcular su longitud en centímetros.

    1. Completa la tabla.
    2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
longitud (mm) longitud (cm)
70
245
4
699.1
  1. ¿Cómo se relacionan estas dos constantes de proporcionalidad entre sí?

  2. Completa cada oración:

    1. Para convertir de centímetros a milímetros, se puede multiplicar por ________.
    2. Para convertir de milímetros a centímetros, se puede dividir entre ________ o multiplicar por ________.

¿Estás listo para más?

  1. ¿Cuántos milímetros cuadrados hay en un centímetro cuadrado?
  2. ¿Cómo se convierten centímetros cuadrados a milímetros cuadrados? ¿Cómo se hace la conversión en el sentido contrario?

3.3 De Pittsburgh a Phoenix

Un avión, viajando a una rapidez constante, voló sobre Pittsburgh, San Luis, Albuquerque y Phoenix en su camino de Nueva York a San Diego.

Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

A map of the United States with 5 line segments that represent the distance a plane flew. The first segment is from New York to Pittsburgh, the second segment from Pittsburgh to Saint Louis, the third segment from Saint Louis to Albuquerque, the fourth from Albuquerque to Phoenix, and the fifth from Pheonix to San Diego.
“Map of the path of a plane flying from New York to San Diego” por United States Census Bureau vía American Fact Finder. Dominio público.
segmento tiempo distancia rapidez
Pittsburgh a San Luis 1 hora 550 millas
San Luis a Albuquerque 1 hora 42 minutos
Albuquerque a Phoenix 330 millas

  1. ¿Cuál es la distancia entre San Luis y Albuquerque?

  2. ¿Cuántos minutos tomó volar entre Albuquerque y Phoenix?

  3. ¿Cuál es la relación proporcional representada con esta tabla?
  4. Diego dice que la constante de proporcionalidad es 550. Andre dice que la constante de proporcionalidad es  9 \frac16 . ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

Resumen de la lección 3

Cuando algo está viajando a una rapidez constante, existe una relación proporcional entre el tiempo que tarda y la distancia que recorre. La tabla muestra la distancia recorrida y el tiempo transcurrido para un insecto que trepa por una acera.

A 2-column table with 4 rows of data. The first column is labeled "distance traveled, in centimeters" and the second column is labeled "elapsed time, in seconds." Row 1: 3/2, 1; Row 2: 1, 2/3; Row 3: 3, 2; Row 4: 10, 20/3. An arrow in each row points from the value in column 1 to the value in column 2 and "times 2/3" is labeled below the table.

Podemos multiplicar cualquier número en la primera columna por  \frac23 para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que el tiempo transcurrido es proporcional a la distancia recorrida y que la constante de proporcionalidad es  \frac23 . Esto significa que el ritmo del insecto es  \frac23 segundos por centímetro.

Esta tabla representa la misma situación, excepto que se intercambiaron las columnas.

A 2-column table with 4 rows of data. The first column is labeled "elapsed time, in seconds" and the second column is labeled "distance traveled, in centimeters." Row 1: 1, 3/2; Row 2: 2/3, 1; Row 3:2 , 3; Row 4: 20/3, 10. An arrow in each row points from the value in column 1 to the value in column 2 and "times 3/2" is labeled below the table.

Podemos multiplicar cualquier número en la primera columna por  \frac32 para obtener el número correspondiente en la segunda columna. Podemos decir que la distancia recorrida es proporcional al tiempo transcurrido y que la constante de proporcionalidad es  \frac32 . Esto significa que la rapidez del insecto es  \frac32 centímetros por segundo.

Observa que  \frac32 es el recíproco de  \frac23 . Cuando dos cantidades están en una relación proporcional, hay dos constantes de proporcionalidad y estas siempre son recíprocas entre ellas. Cuando representamos una relación proporcional con una tabla, decimos que la cantidad en la segunda columna es proporcional a la cantidad en la primera columna y que la constante de proporcionalidad correspondiente es el número por el que multiplicamos los valores en la primera columna para obtener los valores en la segunda.

Problemas de práctica de la lección 3

  1. Noah corre una parte de una maratón a una rapidez constante de 6 millas por hora.

    Completa la tabla para predecir cuánto le tomaría recorrer diferentes distancias a esa rapidez y qué tanto recorrería en diferentes intervalos de tiempo.

    tiempo
    en horas    		 millas recorridas a
    6 millas por hora
    1
    \frac12
    1\frac13
    1\frac12
    9
    4\frac12

  2. Un kilómetro es 1000 metros.

    1. Completa las tablas. ¿Cuál es la interpretación de la constante de proporcionalidad en cada caso?
      metros kilómetros
      1,000 1
      250
      12
      1
      kilómetros metros
      1 1,000
      5
      20
      0.3

      La constante de proporcionalidad nos dice que:

      La constante de proporcionalidad nos dice que:

    2. ¿Cuál es la relación entre las dos constantes de proporcionalidad?

  3. Jada y Lin están comparando pulgadas y pies. Jada dice que la constante de proporcionalidad es 12. Lin dice que es  \frac{1}{12} . ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

  4. El área del desierto de Mojave es 25,000 millas cuadradas. Un dibujo a escala del desierto de Mojave tiene un área de 10 pulgadas cuadradas. ¿Cuál es la escala del mapa?

  5. ¿Cuáles de estas escalas son equivalentes a la escala 1 cm a 5 km? Elige todas las que aplican.

    1. 3 cm a 15 km

    2. 1 mm a 150 km

    3. 5 cm a 1 km

    4. 5 mm a 2.5 km

    5. 1 mm a 500 m

  6. ¿Cuál de estas imágenes no es como las otras? Usa razones para explicar qué la hace diferente.

    Three ovals labeled L, M and N on a coordinate grid. Each oval has a smaller oval inside. At its widest point, each oval has the following dimesions: Oval L, outside oval width 5 units, outside oval thickness 1 unit, inside oval width 3 units, height 4 units. Oval M, outside oval width 10 units, outside oval thickness, 3, inside oval width 4 units, height 8 units. Oval N, outside oval width 15 units, outside oval thickness 3, inside oval width 9 units, height 12 units.