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Lección 2Introducción a las relaciones proporcionales usando tablas

Resolvamos problemas que involucran relaciones proporcionales usando tablas.

Metas de aprendizaje:

  • Entiendo los términos "relación proporcional" y "constante de proporcionalidad".
  • Puedo utilizar una tabla para razonar sobre dos cantidades que están en una relación proporcional.

2.1 Observa y pregúntate: toallas de papel por cajas

Esta es una tabla que muestra cuántos rollos de toallas de papel recibe un almacén al pedir diferentes números de cajas.

A 2-column table with 4 rows of data. The first column is labeled "number of cases they order" and the second column is labeled "number of rolls of paper towels." Row 1: 1,12; Row 2: 3, 36; Row 3: 5, 60; Row 4: 10, 120. There is an arrow pointing from row 3 to row 4 labeled "times 2."

¿Qué observas de la tabla? ¿Qué te preguntas?

2.2 Alimentemos a muchas personas

  1. Una receta dice que 2 tazas de arroz seco alcanzarán para 6 personas. Completa la tabla mientras respondes las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

    1. ¿Cuántas personas pueden comer con 10 tazas de arroz?

    2. ¿Cuántas tazas de arroz se necesitan para que coman 45 personas?

    tazas de arroz número de personas
    2 6
    3 9
    10
    45
  2. Una receta dice que 6 spring rolls son suficientes para que coman 3 personas. Completa la tabla.
    número de spring rolls número de personas
    6 3
    30
    40
    28

2.3 Hacer masa de pan

En una panadería se usan 8 cucharadas de miel por cada 10 tazas de harina para hacer masa de pan. Algunos días se hacen tandas más grandes y otros días tandas más pequeñas, pero siempre se usa la misma razón de miel a harina. Completa la tabla mientras contestas las preguntas. Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. ¿Cuántas tazas de harina se usan con 20 cucharadas de miel?

  2. ¿Cuántas tazas de harina se usan con 13 cucharadas de miel?

  3. ¿Cuántas cucharadas de miel se usan con 20 tazas de harina?

miel (cucharadas) harina (tazas)
8 10
20
13
20
  1. ¿Cuál es la relación proporcional que esta tabla representa?

2.4 Monedas de veinticinco y de diez centavos

4 monedas de veinticinco centavos tienen el mismo valor que 10 monedas de diez centavos.

  1. ¿Cuántas monedas de diez centavos tienen el mismo valor que 6 monedas de veinticinco centavos?
  2. ¿Cuántas monedas de diez centavos tienen el mismo valor que 14 monedas de veinticinco centavos?
  3. ¿Qué valor va al lado del 1 en la tabla? ¿Qué significa ese valor en este contexto?
número de monedas
de veinticinco centavos		 número de monedas
de diez centavos
1
4 10
6
14

¿Estás listo para más?

Los centavos hechos antes de 1982 son 95% cobre y pesan alrededor de 3.11 gramos cada uno (los centavos hechos después de esa fecha son hechos principalmente de zinc). Algunas personas afirman que el valor del cobre de una de esas monedas es mayor que el valor nominal de la moneda. Averigua cuánto vale el cobre actualmente y decide si esta afirmación es cierta.

Resumen de la lección 2

Si las razones entre dos cantidades correspondientes siempre son equivalentes, la relación entre esas cantidades se llama una relación proporcional.

Esta tabla muestra diferentes cantidades de leche y jarabe de chocolate. Los ingredientes de cada fila, al mezclarse, darían una cantidad total diferente de leche achocolatada, pero todas estas mezclas tendrían el mismo sabor.

Observa que cada fila de la tabla muestra una razón de cucharadas de jarabe de chocolate a tazas de leche que es equivalente a 4:1 .

Podemos decir lo siguiente acerca de la relación entre estas dos cantidades:

cucharadas de
jarabe de chocolate 		 tazas de
leche
4 1
6 1\frac{1}{2}
8 2
\frac{1}{2} \frac{1}{8}
12 3
1 \frac{1}{4}
  • La relación entre cantidad de jarabe de chocolate y cantidad de leche es proporcional.
  • La relación entre la cantidad de jarabe de chocolate y la cantidad de leche es una relación proporcional. 
  • La tabla representa una relación proporcional entre la cantidad de jarabe de chocolate y la cantidad de leche.
  • La cantidad de leche es proporcional a la cantidad de jarabe de chocolate. 

Podríamos multiplicar cualquier valor de la columna de jarabe de chocolate por \frac14 para obtener el valor de la columna de leche. Podríamos llamar \frac14 una tasa unitaria, porque para 1 cucharada de jarabe de chocolate se necesitan  \frac14 tazas de leche. También decimos que  \frac14 es la constante de proporcionalidad de esta relación. Esta nos dice cuántas tazas de leche deberíamos mezclar con 1 cucharada de jarabe de chocolate.

Términos del glosario

constante de proporcionalidad

En una relación proporcional, los valores de una cantidad se multiplican todos por un mismo número para obtener los valores de la otra cantidad. Ese número se llama la constante de proporcionalidad.

En este ejemplo, la constante de proporcionalidad es 3, pues  2 \boldcdot 3 = 6 , 3 \boldcdot 3 = 9 y 5 \boldcdot 3 = 15 . Esto significa que, en la ensalada de frutas, hay 3 manzanas por cada 1 naranja.

número de naranjas número de manzanas
2 6
3 9
5 15
relación proporcional

En una relación proporcional, todos los valores de una cantidad se pueden multiplicar, cada uno por el mismo número, para obtener los valores de la otra cantidad.

Por ejemplo, en esta tabla, cada valor de p es igual a 4 veces el valor de s en la misma fila.

Podemos escribir esta relación como p = 4s . Esta ecuación muestra que p es proporcional a  s .

s p
2 8
3 12
5 20
10 40

Problemas de práctica de la lección 2

  1. Cuando Han hace leche achocolatada, él mezcla 2 tazas de leche con 3 cucharadas de jarabe de chocolate. Esta es una tabla que muestra cómo hacer tandas de diferentes tamaños.

    A 2-column table with 4 rows of data. The first column is labeled "cups of milk" and the second column is labeled "tablespoons of chocolate syrup." Row 1: 2, 3; Row 2: 8, 12; Row 3: 1, 3/2; Row 4: 10, 15. There is an arrow pointing from row 1 to row 2 labeled "times 4."

    Usa la información de la tabla para completar las oraciones. Algunos términos se utilizan más de una vez.

    1. La tabla muestra una relación proporcional entre______________ y ______________.
    2. El factor de escala es ______________.
    3. La constante de proporcionalidad de esta relación es ______________.
    4. Las unidades de la constante de proporcionalidad son ______________ por ______________.

    Banco de términos: cucharadas de jarabe de chocolate, 4 , tazas de leche, taza de leche, \frac32

  2. Un cierto tono de rosado se obtiene agregando 3 tazas de pintura roja a 7 tazas de pintura blanca.

    1. ¿Cuántas tazas de pintura roja se deberían agregar a 1 taza de pintura blanca?
      tazas de pintura blanca tazas de pintura roja
      1
      7 3
    2. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? 

  3. Un mapa de un parque rectangular tiene una longitud de 4 pulgadas y un ancho de 6 pulgadas. Este usa una escala de 1 pulgada por cada 30 millas.

    1. ¿Cuál es el área real del parque? Muestra cómo lo sabes.

    2. El mapa se debe reproducir a una escala diferente para que tenga un área de 6 pulgadas cuadradas y pueda caber en un volante. ¿A qué escala se debería reproducir el mapa para que quepa en el volante? Muestra tu razonamiento. 

  4. Noah dibujó una copia a escala del polígono P y la llamó polígono Q.

    Polygon Q on a grid. Polygon Q has 8 sides. Starting at the bottom left corner, the first side is 9 units up, the second side is 6 units right, the third side is 3 units down, the fourth side is3 units left, the fifth side is 3 units down, the sixth side is 3 units right, the seventh side is 3 units down, and the eighth side is 6 units left.

    Si el área del polígono P es 5 unidades cuadradas, ¿qué factor de escala aplicó Noah al polígono P para crear el polígono Q? Explica o muestra cómo lo sabes.

  5. Selecciona todas las razones que son equivalentes entre sí.

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