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Lección 7Comparemos relaciones usando tablas

Exploremos en qué se diferencian las relaciones proporcionales de otras relaciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo decidir si una relación representada con una tabla podría ser proporcional y cuándo definitivamente no lo es.

7.1 Modifiquemos una receta

Una receta de limonada necesita de 5 limones, 2 tazas de agua y 2 cucharadas de miel.

Inventa cuatro versiones nuevas de esta receta de limonada:

  1. Una que produzca más limonada pero que sepa igual a la receta original.
  2. Una que produzca menos limonada pero que sepa igual a la receta original. 
  3. Una que tenga un sabor más fuerte a limón que la receta original. 
  4. Una que tenga un sabor menos fuerte a limón que la receta original.

7.2 Visita al parque estatal

La entrada a un parque estatal cuesta $6 por cada vehículo, más $2 por cada persona en el vehículo.

  1. ¿Cuánto costaría la entrada de un automóvil con 2 personas?, ¿4 personas?, ¿10 personas? Anota tus respuestas en la tabla.
    número de personas
    en el vehículo    		 costo total de la entrada
    en dólares
    2
    4
    10
  2. Para cada fila en la tabla, si cada persona en el vehículo paga lo mismo por cada entrada, ¿cuánto pagará cada persona?
  3. ¿Cómo encontrarías el costo de la entrada de un bus con 50 personas?
  4. ¿La relación entre el número de personas y el costo total de la entrada es una relación proporcional? Explica cómo lo sabes.

¿Estás listo para más?

¿Qué ecuación podrías usar para encontrar el costo total de la entrada de un vehículo con cualquier número de personas?

7.3 Vueltas a la pista

Han y Clare estaban corriendo en la pista. El entrenador registró sus tiempos al final de las vueltas 2, 4, 6 y 8.

Entrenamiento de Han:

distancia (vueltas) tiempo (minutos) minutos por cada vuelta
2 4
4 9
6 15
8 23

Entrenamiento de Clare:

distancia (vueltas) tiempo (minutos) minutos por cada vuelta
2 5
4 10
6 15
8 20
  1. ¿Han está corriendo a un ritmo constante?, ¿y Clare? ¿Cómo lo sabes?
  2. Escribe una ecuación para la relación entre la distancia y el tiempo de quien esté corriendo a un ritmo constante.

Resumen de la lección 7

Estos son los precios de algunos batidos en dos tiendas diferentes de batidos. 

Tienda de batidos A

tamaño del
batido (oz) 		precio
($)		 dólares
por cada
onza
8 6 0.75
12 9 0.75
16 12 0.75
s 0.75s 0.75

Tienda de batidos B

tamaño del
batido (oz)		 precio
($)		 dólares
por cada
onza
8 6 0.75
12 8 0.67
16 10 0.625
s ??? ???

En la tienda de batidos A, los batidos cuestan $0.75 por cada onza, sin importar qué tamaño se compre. Podría haber una relación proporcional entre el tamaño del batido y el precio del batido. Una ecuación para representar esta situación es  p=0.75 s  donde  s representa el tamaño en onzas y  p representa el precio en dólares (la relación podría no ser proporcional si hubiera un tamaño diferente en el menú que no tuviera el mismo precio por cada onza).

En la tienda de batidos B, el costo por onza es diferente para cada tamaño. En este caso, la relación entre el tamaño del batido y el precio del batido definitivamente no es proporcional.

En general, dos cantidades que están en una relación proporcional siempre tendrán el mismo cociente. Cuando vemos algunos valores para dos cantidades relacionadas en una tabla y obtenemos el mismo cociente al dividirlos, eso significa que es posible que estén en una relación proporcional, pero si no podemos ver todas las parejas posibles, no podemos estar completamente seguros. Sin embargo, si sabemos que la relación se puede representar con una ecuación de la forma  y = k x , entonces podemos estar seguros de que es proporcional. 

Problemas de práctica de la lección 7

  1. Decide si cada una de las tablas podría representar una relación proporcional. Si la relación puede ser proporcional, ¿cuál sería la constante de proporcionalidad?

    1. Qué tan fuerte se escucha un sonido dependiendo de dónde estás.
      distancia a 
      quien escucha (ft)      		 nivel del
      sonido (dB)
      5 85
      10 79
      20 73
      40 67
    1. El costo de las bebidas en La casa del perro caliente.
      volumen
      (onzas líquidas)      		 costo
      ($)
      16 $1.49
      20 $1.59
      30 $1.89

  2. Un servicio de taxi cobra $1.00 por el primer  \frac{1}{10} de milla y luego $0.10 por cada \frac{1}{10} de milla adicional.

    Llena la tabla con la información que falta y luego determina si la relación entre la distancia recorrida y el precio del viaje es una relación proporcional.

    distancia recorrida (mi) precio (dólares)
    \frac{9}{10}
    2
    3\frac{1}{10}
    10

  3. Un conejo y una tortuga están en una carrera. ¿La relación entre la distancia recorrida y el tiempo es proporcional para alguno de los dos? Si así es, escribe una ecuación que represente esta relación.

    Tortuga:

    distancia (metros) tiempo (minutos)
    108 2
    405 7.5
    540 10
    1,768.5 32.75

    Conejo:

    distancia (metros) tiempo (minutos)
    800 1
    900 5
    1,107.5 20
    1,524 32.5

  4. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad para cada tabla? 

    1. a b
      2 14
      5 35
      9 63
      \frac13 \frac73
    1. a b
      3 360
      5 600
      8 960
      12 1440
    1. a b
      75 3
      200 8
      1525 61
      10 0.4
    1. a b
      4 10
      6 15
      22 55
      3 7\frac12

  5. Kiran y Mai están parados en un rincón de un campo rectangular mirando en diagonal al rincón opuesto. Kiran dice que si el campo fuera el doble de largo y el doble de ancho, entonces la distancia hasta el rincón más lejano sería el doble. Mai dice que sería más del doble, dado que la diagonal es más larga que las longitudes de lado. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos?