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Lección 8Relacionemos área con circunferencia

Reorganicemos círculos para calcular sus áreas.

Metas de aprendizaje:

  • Conozco la fórmula del área de un círculo.
  • Puedo explicar cómo se relacionan entre sí el área de un círculo y su circunferencia.

8.1 Riego de un terreno

Un terreno circular está adentro de un cuadrado cuyos lados son de 800 m de longitud. Estima el área del campo.

  1. Aproximadamente 5,000 m2
  2. Aproximadamente 50,000 m2
  3. Aproximadamente 500,000 m2
  4. Aproximadamente 5,000,000 m2
  5. Aproximadamente 50,000,000 m2

8.2 Hagamos un polígono a partir de un círculo

Tu profesor te dará a ti y a tu compañero un objeto circular, un marcador y dos hojas de papel de colores diferentes.

Sigan estas instrucciones para crear una representación visual:

  1. Con un marcador grueso, tracen su círculo dos veces sobre la misma hoja en dos lugares separados.

  2. Recorten ambos círculos alrededor de la línea hecha con el marcador.

  3. Doblen y recorten uno de los círculos en cuartos.

  4. Organicen los cuartos de círculo de forma tal que los bordes rectos queden uno junto al otro y que los bordes curvos se alternen en la parte superior y la parte inferior. Hagan una pausa aquí para que su profesor pueda revisar el trabajo.

  5. Doblen y recorten los cuartos de círculo por la mitad para obtener octavos. Organicen los octavos de círculo uno junto al otro, como lo hicieron con los cuartos.

  6. Si los pedazos aún son lo suficientemente grandes, repitan el paso anterior para obtener dieciseisavos.

  7. Peguen el círculo que queda y la nueva figura sobre una hoja de papel de otro color.

Después de que terminen de pegar las figuras, responde las siguientes preguntas.

  1. ¿En qué se parecen o diferencian las áreas de las dos figuras?

  2. ¿Cuál es el polígono que más se parece a la figura hecha con los pedazos de círculo?

  3. ¿Cómo podrías hallar el área de este polígono?

8.3 Hagamos otro polígono a partir de un círculo

Imagina un círculo hecho de anillos que pueden doblarse pero no estirarse.

A ring of circles in three stages. The first image is a circle made of 5 rings. The second circle shows a cut from an outter point on the circle to the center and is labeled, "The rings are unrolled." The third circle shows 6 rows of the unrolled rings stacked one on top of the other. Starting from the bottom row, each row is shorter than the previous row and is labeled, "The circle has been made into a new shape."

Mira esta animación.

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Creado en GeoGebra por timteachesmath.

  1. ¿A qué polígono se parece la nueva figura?

  2. ¿Cómo se compara el área del polígono con el área del círculo?

  3. ¿Cómo puedes hallar el área del polígono?

  4. Muestra, con pasos detallados, cómo podrías hallar el área del polígono en términos de las medidas del círculo. Muestra tu razonamiento. Organízalo de manera que otros puedan entenderlo.

  5. Cuando termines, intercambia los papeles con un compañero y comprueba el trabajo del otro. Si están en desacuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo. Discutan:

    • ¿Están de acuerdo o en desacuerdo con cada paso?

    • ¿Hay alguna forma de hacer más clara la explicación?

  6. Revisa tu explicación basándote en la retroalimentación de tu compañero.

8.4 Recubrir una mesa

Elena quiere recubrir la superficie de una mesa circular. El diámetro de la tapa de la mesa es 28 pulgadas. ¿Cuál es su área?

¿Estás listo para más?

Una caja contiene 20 baldosas cuadradas que miden 2 pulgadas en cada lado. ¿Cuántas cajas de baldosas necesitará Elena para recubrir la mesa?

Resumen de la lección 8

Si C es la circunferencia de un círculo y  r es su radio, entonces C=2\pi r . El área de un círculo se puede hallar al calcular el producto de la mitad de la circunferencia y el radio.

Si A es el área del círculo, esto resulta en la ecuación:

A = \frac12 (2\pi r) \boldcdot r

Esta ecuación se puede reescribir como:

A=\pi r^2

Esto significa que si conocemos el radio, podemos hallar el área. Por ejemplo, si un círculo tiene un radio de 10 cm, entonces el área es aproximadamente  (3.14) \boldcdot 100 que es 314 cm2.

Si conocemos el diámetro, podemos determinar el radio y luego podemos hallar el área. Por ejemplo, si un círculo tiene un diámetro de 30 ft, entonces el radio es 15 ft y el área es aproximadamente  (3.14) \boldcdot 225 que es aproximadamente 707 ft2.

Problemas de práctica de la lección 8

  1. La imagen muestra a un círculo dividido en 8 pedazos iguales que están reorganizados.

    wo shapes. The first shape is a circle divided into 8 identical wedges. The second shape is the same 8 wedges arranged horizontally, alternating between wedges with their arc ends on top and wedges with their arc ends on the bottom, making a shape somewhat like a rectangle.

    El radio del círculo es r y su circunferencia es 2\pi r . ¿Cómo ayuda la imagen a explicar por qué el área del círculo es igual a \pi r^2 ?

  2. La circunferencia de un círculo es aproximadamente 76 cm. Estima el radio, el diámetro y el área del círculo.

  3. Jada pinta una mesa circular que tiene un diámetro de 37 pulgadas. ¿Cuál es el área de la mesa?

  4. El carrusel del National Mall tiene 4 anillos de caballos. Kiran está montando en un caballo del anillo interior, que tiene un radio de 9 pies. Mai está montando en un caballo del anillo exterior, que está 8 pies más lejos del centro que el anillo interior.

    1. En una rotación del carrusel, ¿cuánto más recorre Mai que Kiran?

    2. Una rotación del carrusel tarda 12 segundos. ¿Cuánto más rápido viaja Mai que Kiran?

  5. Estos son los diámetros de cuatro monedas:

    moneda  1 centavo  5 centavos  10 centavos  25 centavos 
    diámetro 1.9 cm 2.1 cm 1.8 cm 2.4 cm 
    1. Una moneda rueda una distancia de 33 cm en 5 rotaciones. ¿Qué moneda es?
    2. Una moneda de 25 centavos da 8 rotaciones. ¿Qué tan lejos rodó?
    3. Una moneda de 10 centavos rueda 41.8 cm. ¿Cuántas rotaciones dio?