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Lección 4La mitad de eso de nuevo

Usemos fracciones para describir aumentos y disminuciones.

Metas de aprendizaje:

  • Entiendo que "la mitad de eso de nuevo" y "multiplicar por \frac32 " significan lo mismo.
  • Puedo usar la propiedad distributiva para reescribir una expresión tal como x+\frac12 x de la manera (1+\frac12)x .

4.1 Observa y pregúntate: diagramas de cinta

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

4.2 Caminar la mitad de nuevo

  1. Completa la tabla para mostrar la distancia total que se caminó en cada caso.

    1. La tortuga de Jada caminó 10 pies y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
    2. El hermano bebé de Jada caminó 3 yardas y luego la mitad de esa longitud de nuevo.
    3. El hamster de Jada caminó 4.5 km y luego la mitad de esa longitud de nuevo. 
    4. El robot de Jada caminó 1 millas y luego la mitad de esa longitud de nuevo. 
    5. Una persona caminó x metros y luego la mitad de esa longitud de nuevo. 
    distancia inicial distancia total
    10
    3
    4.5
    1
    x
  2. Explica cómo calculaste la distancia total en cada caso.

  3. Dos estudiantes escribieron cada uno una ecuación para representar la relación entre la distancia inicial que se caminó ( x ) y la distancia total que se caminó ( y ).

    • Mai escribió y = x + \frac12 x .
    • Kiran escribió y = \frac32x .

    ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Zenón saltó 8 metros. Luego, saltó la mitad de esa distancia de nuevo (4 metros). Luego, saltó la mitad de eso otra vez (2 metros). Entonces, después de tres saltos, él estaba a  8 + 4 + 2 = 14 metros del lugar en el que empezó.

  1. Zenón siguió saltando cada vez la mitad de nuevo. ¿Qué tan lejos estaría después de 4 saltos?, ¿5 saltos?, ¿6 saltos?
  2. Antes de empezar a saltar, Zenón hizo una marca en el piso exactamente a 16 metros del lugar donde empezó a saltar. ¿Qué tan cerca de la marca puede llegar Zenón si continúa saltando cada vez la mitad de nuevo? (Considera investigar sobre la paradoja de Zenón).

4.3 Más y menos

  1. Empareja cada situación con un diagrama. Es posible que un diagrama no tenga pareja.

    1. Han comió  x onzas de arándanos. Mai comió  \frac13 menos que eso.
    2. Mai montó en bicicleta  x millas. Han montó en bicicleta  \frac23 más que eso.
    3. Han compró x libras de manzanas. Mai compró  \frac23 de eso.
  2. Para cada diagrama, escribe una ecuación que represente la relación entre  x y  y .
    1. Diagrama A:
    2. Diagrama B:
    3. Diagrama C:
    4. Diagrama D:
  3. Escribe una historia para uno de los diagramas que no tiene pareja.

4.4 Clasificación de tarjetas: representaciones de relaciones proporcionales

Tu profesor te dará un juego de tarjetas que tienen relaciones proporcionales representadas de 3 maneras diferentes: descripciones, ecuaciones y tablas. Mezcla las tarjetas y ponlas boca arriba.

  1. Túrnate con un compañero para emparejar una descripción con una ecuación y una tabla.
    1. Para cada grupo de 3 que encuentres, explica a tu compañero cómo sabes que las tarjetas corresponden.
    2. Para cada grupo de 3 que tu compañero encuentre, escucha con atención su explicación y si estás en desacuerdo, explícale tu razonamiento.
  2. Cuando estén de acuerdo con todos los grupos de 3, verifiquen sus respuestas con la hoja de respuestas. Si hay errores, discutan por qué y revisen sus respuestas.

Resumen de la lección 4

Usar la propiedad distributiva hace más corto el proceso de calcular la cantidad total en situaciones que involucran sumar o restar una fracción de la cantidad original. 

Por ejemplo, un día Clare corre 4 millas. El siguiente día, ella planea correr la misma distancia más la mitad de nuevo. ¿Qué tan lejos planea correr el siguiente día?

Mañana ella correrá 4 millas más  \frac12 de 4 millas. Podemos usar la propiedad distributiva para encontrar esto en un solo paso:  1 \boldcdot 4 + \frac{1}{2} \boldcdot 4 = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \boldcdot 4

Clare planea correr 1\frac12\boldcdot 4  o 6 millas.

Esto también funciona cuando disminuimos por una fracción. Si Tyler gastó x dólares en una camiseta nueva y Noah gastó  \frac{1}{3} menos que Tyler, entonces Noah gastó \frac{2}{3}x dólares pues  x-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}x .

Problemas de práctica de la lección 4

  1. Empareja cada situación con un diagrama.

    1. Diego bebió  x onzas de jugo. Lin bebió \frac14 menos que eso.
    2. Lin corrió  x millas. Diego corrió  \frac34 más que eso.
    3. Diego compró  x libras de almendras. Lin compró  \frac14 de eso.

  2. Elena caminó 12 millas. Luego caminó \frac{1}{4} de esa distancia. ¿Cuánto caminó en total? Selecciona todas las que correspondan.

    1. 12 + \frac14

    2. 12 \boldcdot \frac14

    3. 12+\frac14 \boldcdot 12

    4. 12\left(1+\frac14 \right)

    5. 12 \boldcdot \frac34

    6. 12 \boldcdot \frac54

  3. Escribe una historia que se pueda representar con la ecuación y=x+\frac14x .

  4. Selecciona todas las razones que son equivalentes a 4 : 5 .

    1. 2 : 2.5
    2. 2 : 3
    3. 3 : 3.75
    4. 7 : 8
    5. 8 : 10
    6. 14 : 27.5

  5. Jada hace invitaciones de cumpleaños circulares para sus amigos. El diámetro del círculo es 12 cm. Ella compró 180 cm de cinta para pegar alrededor del borde de cada invitación. ¿Cuántas invitaciones puede hacer?