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Lección 5Dilo con decimales

Usemos decimales para describir aumentos y disminuciones.

Metas de aprendizaje:

  • Entiendo que "la mitad de eso de nuevo" y "multiplicar por 1.5" significan lo mismo.
  • Puedo escribir fracciones como decimales.
  • Puedo utilizar la propiedad distributiva para reescribir una ecuación como x+0.5 x=1.5 x .

5.1 Observa y pregúntate: de fracciones a decimales

Una calculadora da las siguientes expansiones decimales para algunas fracciones unitarias:

\frac12 = 0.5

\frac13 =0.3333333

\frac14 = 0.25

\frac15 = 0.2

\frac16 = 0.1666667

\frac17 = 0.142857143

\frac18 = 0.125

\frac19 = 0.1111111

\frac{1}{10} = 0.1

\frac{1}{11}=0.0909091

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

5.2 Decimales periódicos

  1. Usa división larga para expresar cada fracción como un decimal.

    \frac{9}{25}

    \frac{11}{30}

    \frac{4}{11}

  2. ¿En qué se parecen tus respuestas a la pregunta anterior? ¿En qué se diferencian?
  3. Usa las representaciones decimales para decidir cuál de estas fracciones tiene el mayor valor. Explica tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Una aproximación común de \pi  es \frac{22}{7} . Expresa esta fracción como un decimal. ¿En qué se parece esta aproximación a 3.14 o en qué se diferencia?

5.3 Más y menos con decimales

  1. Asocia cada diagrama con una descripción y una ecuación.

    Diagramas:

    Descripciones:

    Un aumento de \frac14

    Un aumento de  \frac13

    Un aumento de  \frac23

    Una reducción de \frac15

    Una reducción de \frac14

    Ecuaciones:

    y=1.\overline{6}x

    y=1.\overline{3}x

    y=0.75x

    y=0.4x

    y=1.25x

  2. Dibuja un diagrama para una de las ecuaciones que no quedó relacionada.

5.4 Clasificación de tarjetas: más representaciones

Tu profesor te dará un juego de cartas que tienen relaciones proporcionales representadas de 2 maneras diferentes: como descripciones y ecuaciones. Mezcla las tarjetas y colócalas boca arriba.

Túrnate con un compañero para asociar una descripción con una ecuación.

  1. Por cada asociación que encuentres, explica a tu compañero cómo sabes que la descripción y la ecuación se pueden asociar.
  2. Por cada asociación que tu compañero encuentre, escucha cuidadosamente su explicación, y si no estás de acuerdo, explica tu razonamiento.
  3. Cuando estés de acuerdo con todas las asociaciones, verifica tus respuestas con la hoja de respuestas. Si hay algún error, discute por qué y revisa tus asociaciones.

Resumen de la lección 5

La división larga nos da una forma para encontrar representaciones decimales de fracciones.

Por ejemplo, para encontrar la representación decimal de \frac{9}{8} , podemos dividir 9 entre 8.

Entonces \frac{9}{8} = 1.125 .

\require{enclose} \begin{array}{r} 1.125 \\[-3pt] 8 \enclose{longdiv}{9.000}\kern-.2ex \\[-3pt] \underline{8{\phantom{.0}}} \phantom{00} \\[-3pt] 1\phantom{.}0\phantom{00} \\[-3pt] \underline{8\phantom{0}}\phantom{0} \\[-3pt] 20\phantom{0} \\[-3pt] \underline{16\phantom{0}} \\[-3pt] \phantom{0} 40 \\[-3pt] \underline{40} \\[-3pt] 0 \\ \end{array}

Algunas veces es más fácil trabajar con la representación decimal de un número y otras veces es más fácil trabajar con su representación fraccionaria. Es importante ser capaz de trabajar con cualquiera. Por ejemplo, considera el siguiente par de problemas:

  • Priya ganó x  dólares haciendo quehaceres y Kiran ganó \frac{6}{5}  de lo que ganó Priya. ¿Cuánto ganó Kiran?
  • Priya ganó x  dólares haciendo quehaceres y Kiran ganó 1.2 veces lo que ganó Priya. ¿Cuánto ganó Kiran?

Como \frac{6}{5}=1.2 , estos son exactamente el mismo problema y la respuesta es \frac{6}{5}x  o 1.2x .

Cuando trabajemos con porcentajes en lecciones posteriores, la representación decimal será especialmente útil.

Términos del glosario

decimal periódico

Un decimal periódico tiene dígitos que aparecen una y otra vez, siguiendo el mismo patrón. Los dígitos que se repiten se marcan con una raya encima de ellos. 

Por ejemplo, la representación decimal de  \frac13 es  0.\overline{3} , que significa 0.3333333 . . . La representación decimal de  \frac{25}{22} es  1.1\overline{36} , que significa 1.136363636 . . .

Problemas de práctica de la lección 5

    1. Relaciona cada diagrama con una descripción y una ecuación. 

      Descripciones:

      Un incremento en  \frac23

      Un incremento en  \frac{5}{6}

      Una reducción en  \frac25

      Una reducción en  \frac{5}{11}

      Ecuaciones:

      y=1.8\overline{3}x

      y=1.\overline{6}x

      y=0.6x

      y=0.4x

    2. Dibuja un diagrama para una de las ecuaciones sin relacionar. 

  2. Al comienzo del mes, había 80 onzas de mantequilla de maní en la despensa. Desde entonces, la familia comió 0.3 de la mantequilla de maní. ¿Cuántas onzas de mantequilla de maní hay en la despensa ahora? 

    1. 0.7 \boldcdot 80

    2. 0.3 \boldcdot 80

    3. 80 - 0.3

    4. \left(1+ 0.3\right)\boldcdot 80

    1. En un día caluroso, un equipo de fútbol americano bebió un botellón de 50 galones de agua más la mitad de eso de nuevo. ¿Cuánta agua bebieron? 
    2. Jada alquiló 12 libros de la biblioteca y Han alquiló \frac13 menos que eso. ¿Cuánto libros alquiló Han?

  4. Si x representa un número positivo, selecciona todas las expresiones cuyo valor sea mayor que x .

    1. \left(1-\frac14\right)x

    2. \left(1+\frac14\right)x

    3. \frac78x

    4. \frac98x

  5. La tasa cardíaca en reposo de una persona típicamente está entre 60 y 100 latidos por cada minuto. Noah mira su reloj y cuenta 8 latidos en 10 segundos.

    1. ¿Su tasa cardíaca es típica? Explica cómo lo sabes.
    2. Escribe una ecuación para  h , el número de veces que late el corazón de Noah (a esta tasa) en  m minutos.