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Lección 10Distintas opciones para resolver una ecuación

Pensemos cuál camino es más fácil para resolver ecuaciones con paréntesis.

Metas de aprendizaje:

  • Para las ecuaciones que se pueden resolver de varias maneras, puedo escoger la más fácil dependiendo de los números en la ecuación.
  • Una ecuación como 3(x+2)=15 , puedo resolverla de dos maneras diferentes: dividiendo primero cada lado entre 3, o reescribiendo 3(x+2) al usar la propiedad distributiva.

10.1 Conversación algebraica: resolvamos cada ecuación

Encuentra el valor de x :

\begin {align} 100(x-3) &= 1,\!000\\ 500(x-3) &= 5,\!000\\ 0.03(x-3) &= 0.3 \\ 0.72(x+2) &= 7.2 \\ \tfrac17 (x+2) &= \tfrac {10} 7 \\ \end{align}

10.2 Analicemos métodos de solución

Tres estudiantes intentaron resolver la ecuación  2(x-9)=10 , pero obtuvieron soluciones diferentes. Estos son sus métodos. ¿Estás de acuerdo con alguno de sus métodos?, ¿por qué? 

Método de Noah: 

\begin{align} 2(x-9)&=10 \\ 2(x-9)+9 &= 10+9 & \text{se suma 9 a cada lado} \\ 2x &= 19 \\ 2x \div 2 &= 19 \div 2 & \text{se divide cada lado entre 2} \\ x &= \frac{19}{2} \\ \end{align}

Método de Elena:

\begin{align} 2(x-9) &= 10 \\ 2x-18 &= 10 & \text{se aplica la propiedad distributiva} \\ 2x-18-18 &= 10-18 & \text{se resta 18 de cada lado} \\ 2x &= \text-8 \\ 2x \div 2 &= \text-8 \div 2 & \text{se divide cada lado entre 2} \\ x &= \text-4 \\ \end{align}

Método de Andre:

\begin{align} 2(x-9) &= 10 \\ 2x-18 &= 10 & \text{se aplica la propiedad distributiva} \\ 2x-18+18 &= 10+18 & \text{se suma 18 a cada lado} \\ 2x &= 28 \\ 2x \div 2 &= 28 \div 2 & \text{se divide cada lado entre 2} \\ x &= 14 \\ \end{align}

10.3 Caminos de solución

Intenta resolver cada ecuación usando ambos métodos (dividiendo primero ambos lados, o aplicando primero la propiedad distributiva). Algunas ecuaciones son más fáciles de resolver con un método que con otro. En este caso, deja de usar el método más difícil y escribe la razón por la que lo dejaste de usar. 

  1. 2 ,\!000(x-0.03)=6 ,\!000

  2. 2(x+1.25)=3.5

  3. \frac14 (4 + x) = \frac43

  4. \text-10(x - 1.7) = \text-3

  5. 5.4 = 0.3(x + 8)

Resumen de la lección 10

Las ecuaciones se pueden resolver de diferentes maneras. En esta lección, nos enfocamos en ecuaciones con una estructura particular y en dos maneras de resolverlas. 

Supongamos que estamos intentando resolver la ecuación  \frac45(x+27)=16 . Dos estrategias útiles son: 

  • Dividir ambos lados entre  \frac45 .
  • Aplicar la propiedad distributiva.

Para decidir cuál es la mejor estrategia, podemos ver los números y pensar con cuál de ellas podemos hacer cálculos más fácilmente. Observemos que \frac45 \boldcdot 27 no es fácil de calcular, porque 27 no es divisible entre 5. Pero 16 \div \frac45 nos da  16 \boldcdot \frac54 , y 16 es divisible entre 4. Al dividir ambos lados entre \frac45 se obtiene:

\begin{align} \tfrac45 (x+27) &= 16 \\ \tfrac54 \boldcdot \tfrac45 (x+27) &= 16 \boldcdot \tfrac54 \\ x+27 &= 20 \\ x &= \text- 7 \\ \end{align}

Algunas veces los cálculos son más sencillos si usamos primero la propiedad distributiva. Consideremos la ecuación  100(x+0.06)=21 . Si dividimos ambos lados entre 100, obtenemos  \frac{21}{100}  o 0.21 en el lado derecho de la ecuación. Pero si usamos primero la propiedad distributiva, obtenemos una ecuación que solo tiene números enteros. 

\begin {align} 100(x+0.06) &= 21 \\ 100x+6 &= 21 \\ 100x &= 15 \\ x &= \tfrac{15}{100} \\ \end {align}

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Andre quiere comprar una mochila. El precio normal de la mochila es $40. Él observa que una tienda que vende la mochila ofrece un 30% de descuento. ¿Cuál es el precio de venta de la mochila?

  2. En el primer examen de matemáticas, 16 estudiantes obtuvieron una A. En el segundo examen de matemáticas, 12 estudiantes obtuvieron una A. ¿Qué disminución porcentual es eso?

  3. Resuelve cada ecuación.

    1. 2(x-3) = 14
    2. \text-5(x-1) = 40
    3. 12(x+10)=24
    4. \frac16(x+6)=11
    5. \frac57(x-9)=25

  4. Selecciona todas las expresiones que representan una solución correcta de la ecuación 6(x+4)=20 .

    1. (20-4)\div 6
    2. \frac16(20-4)
    3. 20-6-4
    4. 20\div6-4
    5. \frac16(20-24)
    6. (20-24)\div 6

  5. Lin y Noah resuelven la ecuación  7(x+2)=91 .

    Lin comienza usando la propiedad distributiva. Noah inicia dividiendo ambos lados entre 7.

    1. Muestra cómo serían los métodos de Lin y Noah para la solución completa.
    2. ¿En qué se parecen y se diferencian sus métodos?