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Lección 11Usemos ecuaciones para resolver problemas

Usemos diagramas de cinta, ecuaciones y razonamientos para resolver problemas.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo resolver problemas basados en una historia, al dibujar y razonar sobre un diagrama de cinta, o al escribir y resolver una ecuación.

11.1 Recordemos los diagramas de cinta

  1. Escribe una historia que se pueda representar con este diagrama de cinta. 
  2. Escribe una ecuación que se pueda representar con este diagrama de cinta. 

11.2 En la feria

  1. Tyler está haciendo invitaciones para la feria. Él ya ha hecho algunas invitaciones y quiere terminar el resto de ellas en una semana. Él está tratando de distribuir el trabajo restante para hacer el mismo número de invitaciones cada día. Tyler dibuja un diagrama para representar la situación.
    A tape diagram partitioned into 8 parts labeled x, x, x, x, x, x, x, and 66. A brace is drawn indicating the length of the diagram and is labeled 122.

    1. Explica cómo cada parte de la situación se representa en el diagrama de Tyler:

      Cuántas invitaciones en total está intentando hacer Tyler.

      Cuántas invitaciones ya ha hecho.

      Cuántos días tiene para terminar las invitaciones.

    2. ¿Cuántas invitaciones debe hacer Tyler cada día para cumplir su meta en una semana? Explica o muestra tu razonamiento.
    3. Usa el diagrama de Tyler para escribir una ecuación que represente la situación. Explica cómo cada parte de la situación se representa en tu ecuación.
    4. Muestra cómo se resuelve tu ecuación. 

  2. Noah y su hermana están haciendo bolsas de premios para un juego de feria. Noah pone 7 borradores en cada bolsa, mientras su hermana pone algunas calcomanías. Después de llenar 3 de las bolsas, ellos han usado un total de 57 artículos.

    1. Explica cómo el diagrama representa la situación. 
    2. Noah escribe la ecuación 3(x+7) = 57 para representar la situación. ¿Estás de acuerdo con él? Explica tu razonamiento. 
    3. ¿Cuántas calcomanías puso la hermana de Noah en cada bolsa de premio? Explica o muestra tu razonamiento. 
  3. Una familia de 6 personas irá a la feria. Ellos tienen un cupón de $1.50 de descuento para cada boleto. Si pagan $46.50 por todos los boletos, ¿cuánto cuesta un boleto sin el cupón? Explica o muestra tu razonamiento. Si tienes dificultad, considera dibujar un diagrama o escribir una ecuación. 

11.3 Atletas corriendo

Priya, Han y Elena son miembros del club de atletismo en la escuela.

  1. Priya estaba ocupada estudiando esta semana y corrió 7 millas menos que la semana pasada. Priya corrió 9 veces lo que Elena corrió esta semana. Elena solo tuvo tiempo para correr 4 millas esta semana.

    1. ¿Cuántas millas corrió Priya la semana pasada?
    2. Elena escribió la ecuación \frac19 (x-7) = 4 para describir la situación. Ella resolvió la ecuación, multiplicando cada lado por 9 y luego sumando 7 a cada lado. ¿En qué se parece la solución de Elena a la forma en que tú encontraste las millas que Priya recorrió?

  2. Un día de la semana pasada, 6 profesores se unieron a  \frac57 de los miembros del club de atletismo en una carrera extra-curricular. Priya contó un total de 31 personas corriendo ese día. ¿Cuántos miembros tiene el club de atletismo?

  3. Priya y Han planean un evento para recaudar fondos para el club de atletismo. Ellos empezaron con un saldo de \text-80 debido a los gastos. En la primera hora del evento para recaudar fondos recolectaron el dinero de 9 padres que dieron la misma cantidad cada uno, lo que dejó su saldo en  \text-44 . ¿Cuánto donó cada padre?

  4. El club de atletismo usa el dinero recolectado para pagar un viaje a un cañón. En un punto de una carrera en el cañón, los estudiantes están a una altura de 128 pies. Después de descender a una tasa de 50 pies por minuto, ellos alcanzan una altura de \text-472 pies. ¿Cuánto tiempo tardó el descenso?

¿Estás listo para más?

Un músico se presentó en tres ferias locales. En la primera, duplicó su dinero y gastó $30. En la segunda, triplicó su dinero y gastó $54. En la tercera, cuadruplicó su dinero y gastó $72. Al final, le quedaron $48. ¿Cuánto dinero tenía antes de presentarse en las ferias? 

Resumen de la lección 11

Muchos problemas se pueden solucionar al escribir y resolver una ecuación. Este es un ejemplo: 

Clare corrió 4 millas el lunes. Luego, en los seis días siguientes, corrió la misma distancia cada día. Ella corrió un total de 22 millas durante la semana. ¿Cuántas millas corrió en cada uno de los seis días? 

Una manera de resolver el problema es representar la situación con una ecuación, 4+6x = 22 , en la que x representa la distancia en millas que ella corrió en cada uno de los 6 días. Resolver la ecuación da la solución de este problema.  

\begin{align} 4+6x &= 22 \\ 6x &= 18 \\ x &= 3 \\ \end{align}

Problemas de práctica de la lección 11

  1. Halla el valor de cada variable.

    1. a \boldcdot 3 = \text-30
    2. \text-9\boldcdot b = 45
    3. \text-89 \boldcdot  12 =c
    4. d \boldcdot 88 = \text-88,\!000

  2. Empareja cada ecuación con su solución y con la historia que describe.

    Ecuaciones:

    1. 5x-7=3
    2. 7=3(5+x)
    3. 3x+5=\text-7
    4. \frac13(x+7)=5

    Soluciones:

    1. -4
    2. \frac {\text{-}8}{3}
    3. 2
    4. 8

    Historias:

    • La temperatura es \text-7 . Desde la medianoche, la temperatura se triplicó y luego aumentó 5 grados. ¿Cuál era la temperatura a la medianoche?
    • Jada tiene 7 rosas rosadas y algunas rosas blancas. Ella las regala todas: 5 rosas a cada uno de sus 3 profesores favoritos. ¿Cuántas rosas blancas regaló?
    • Una empresa de instrumentos musicales redujo el tiempo que tarda un trabajador en construir una guitarra. Antes de la reducción, se tardaba 5 horas. Ahora, ellos pueden construir 3 guitarras en 7 horas. ¿En cuánto redujeron el tiempo que se tarda en construir cada guitarra?
    • Un club separa sus integrantes en 5 grupos para una actividad. Solo quedaron 3 estudiantes para terminar la actividad, porque 7 de ellos se fueron temprano. ¿Cuántos estudiantes había en cada grupo?

  3. La jirafa bebé pesó 132 libras al nacer. Ganó peso a una tasa constante durante los primeros 7 meses hasta que su peso alcanzó las 538 libras. ¿Cuánto peso ganó cada mes?

  4. Seis equipos están en el campo jugando fútbol. Todos los equipos tienen el mismo número de jugadores. El entrenador pide a 2 jugadores de cada equipo que le ayuden a mover algunos materiales. Ahora hay 78 jugadores en el campo. Escribe y resuelve una ecuación cuya solución sea el número de jugadores en cada equipo.

  5. Una pequeña ciudad tenía una población de 960 personas el año pasado. La población creció a 1200 personas este año. ¿En qué porcentaje aumentó la población? 

    A double number line for “number of people” with 11 evenly spaced tick marks. The top number line, starting with the first tick mark, has the numbers zero, 120, 240, 360, 480, 600, 720, 840, 960, 1080 and 1200 labeled. On the bottom number line zero percent is on the first tick mark and the remaining tick marks are not labeled.

  6. El tanque de gasolina de un camión tiene capacidad para 30 galones. El tanque de gasolina de un vehículo de pasajeros tiene un 50% menos. ¿Cuántos galones puede contener este? 

    A double number line for “gas in gallons” with 4 evenly spaced tick marks. The top number line, starting with the first tick mark, has the numbers zero; the remaining tick marks are not labeled. The bottom number line, starting with the first tick mark, has zero percent, 50 percent, 100 percent, and 150 percent labeled.