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Lección 21Agrupemos términos semejantes (Parte 2)

Veamos cómo usar propiedades correctamente para escribir expresiones equivalentes. 

Metas de aprendizaje:

  • Si es necesario, puedo escribir una expresión equivalente con menos términos.
  • Soy consciente de algunos errores comunes cuando escribo expresiones equivalentes, y puedo evitarlos.

21.1 ¿Verdadero o falso?

Selecciona todas las afirmaciones que sean verdaderas. Prepárate para explicar tu razonamiento. 

  1. 4 - 2(3+7)=4-2\boldcdot 3 -2\boldcdot 7
  2. 4 - 2(3+7)=4+\text-2\boldcdot 3 +\text-2\boldcdot 7
  3. 4 - 2(3+7)=4-2\boldcdot 3 +2\boldcdot 7
  4. 4 - 2(3+7)=4-(2\boldcdot 3 +2\boldcdot 7)

21.2 Veámoslo de manera diferente

Algunos estudiantes están tratando de escribir una expresión con menos términos que sea equivalente a  8-3(4-9x) .

Noah dice: "Trabajé de izquierda a derecha y me quedó  20 - 45x ".

8 - 3(4-9x)

5(4 - 9x)

20 - 45x

Lin dice: "Comencé dentro del paréntesis y me quedó  23x ".

8 - 3(4-9x)

8 - 3(\text-5x)

8 + 15x

23x

Jada dice: "Usé la propiedad distributiva y terminé con  27x - 4 ".

8 - 3(4-9x)

8 - (12 - 27x)

8 - 12 - (\text-27x)

27x - 4

Andre dice: "También usé la propiedad distributiva, pero terminé con \text-4 - 27x ".

8 - 3(4-9x)

8 - 12 - 27x

\text-4 - 27x

  1. ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.
  2. Para cada estrategia con la que no estas de acuerdo, encuentra y describe los errores.

¿Estás listo para más?

  1. El vecino de Jada dijo: "Mi edad es la diferencia entre el doble de mi edad en 4 años y el doble de mi edad hace 4 años". ¿Qué edad tiene el vecino de Jada? 

  2. Otro vecino dijo: "Mi edad es la diferencia entre el doble de mi edad en 5 años y el doble de mi edad hace 5 años". ¿Qué edad tiene este vecino?

  3. Un tercer vecino dijo lo mismo de su edad en 17 años y hace 17 años, y un cuarto vecino dijo lo mismo, para 21 años. Halla las edades de esos vecinos.

21.3 Agrupemos de forma diferente

Diego estaba haciendo un quiz de matemáticas. En él, una pregunta tenía la expresión 8x - 9 - 12x + 5 . El profesor de Diego le dijo a la clase que había un error tipográfico y que se suponía que la expresión tenía un paréntesis.

  1. ¿Dónde podrías poner paréntesis en  8x - 9 - 12x + 5 para hacer que la nueva expresión siga siendo equivalente a la expresión original? ¿Cómo sabes que tu nueva expresión es equivalente? 
  2. ¿Dónde podrías poner paréntesis en  8x - 9 - 12x + 5 para hacer que la nueva expresión no sea equivalente a la expresión original? Escribe todas las respuestas diferentes que se te ocurran.

Resumen de la lección 21

Al agrupar términos semejantes podemos escribir expresiones de forma más simple, usando menos términos. Pero a veces esto puede ser complicado con expresiones largas, paréntesis y números negativos. Es útil pensar en algunos errores comunes que podemos tener en cuenta e intentar evitar: 

  • 6x-x no es equivalente a 6. Aunque podría ser tentador pensar que la x desaparece al restar las x , la expresión realmente nos dice que se toma 1 x de las 6 x  y la propiedad distributiva nos dice que  6x-x es equivalente a (6-1)x .
  • 7-2x no es equivalente a 5x . La expresión  7-2x nos dice que duplicamos un cantidad desconocida y la restamos de 7. Esto no siempre es lo mismo que tomar 5 copias de la incógnita.
  • 7-4(x+2) no es equivalente a 3(x+2) . La expresión nos pide que restemos 4 copias de una cantidad del 7, en vez de tomar (7-4) copias de la cantidad.

Si pensamos en el significado y las propiedades de las operaciones cuando realizamos pasos para reescribir expresiones, podemos estar seguros de que estamos obteniendo expresiones equivalentes y no estamos cambiando su valor en el proceso.

Problemas de práctica de la lección 21

    • Noah dice que 9x - 2x + 4x es equivalente a 3x , porque con el signo de resta sabemos que se debe restar todo lo que está después de 9x .
    • Elena dice que 9x - 2x + 4x es equivalente a  11x , porque la resta solo se aplica a 2x .

    ¿Estás de acuerdo con alguno de ellos? Explica tu razonamiento.

  2. Identifica el error al generar una expresión equivalente a 4+2x-\frac12(10-4x) . Luego, corrige el error.

    4+2x + \frac {\text{-}1}{2}(10 + \text-4x) \\ 4+2x +\text-5 +2x \\ 4+2x-5+2x \\ \text-1

  3. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a 5x -15 - 20x+10 .

    1. 5x - (15+20x) + 10
    2. 5x+\text-15+\text-20x+10
    3. 5(x-3-4x+2)
    4. \text-5(\text-x +3+4x+\text-2)
    5. \text-15x-5
    6. \text-5(3x+1)

  4. La banda de guerra de la escuela tiene un presupuesto de hasta $750 para cubrir 15 nuevos uniformes y gastos de competencias que suman $300 en total. ¿Cuánto puede gastar la banda para un uniforme?

    1. Escribe una desigualdad para representar esta situación.
    2. Resuelve la desigualdad y describe lo que significa en la situación.

  5. Resuelve la desigualdad que representa cada historia. Luego, interpreta lo que significa la solución en el contexto de la historia.

    1. Por cada $9 que Elena gana, le da x  dólares a la caridad. Esto sucede 7 veces este mes. Elena quiere asegurarse de que se queda con por lo menos $42 de las ganancias de este mes. 7(9-x) \geq 42
    2. Lin compra una vela que mide 9 pulgadas de alto y quema x pulgadas por cada minuto. Ella quiere dejar que la vela se queme durante 7 minutos hasta que tenga menos de 6 pulgadas de alto. 9 - 7x < 6

  6. Un cierto tono de pintura azul se hace mezclando 1\frac12 cuartos de galón de pintura azul con 5 cuartos de galón de pintura blanca. Si necesitas un total de 16.25 galones de este tono de pintura azul, ¿qué cantidad de cada color debes mezclar?