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Lección 8Razonemos sobre la resolución de ecuaciones (Parte 2)

Usemos colgadores para comprender dos maneras diferentes de resolver ecuaciones que tienen paréntesis.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar un peso desconocido en un diagrama de colgador y resolver una ecuación que represente el diagrama.
  • Puedo escribir una ecuación que describa los pesos en un colgador balanceado.
  • Puedo explicar cómo un colgador balanceado y una ecuación representan la misma situación.
  • Puedo explicar por qué algunos colgadores balanceados se pueden describir usando dos ecuaciones diferentes, una con paréntesis y una sin paréntesis.

8.1 Equivalente a 2(x+3)

Selecciona todas las expresiones equivalentes a 2(x+3) .

  1. 2 \boldcdot (x+3)
  2. (x + 3)2
  3. 2 \boldcdot x + 2 \boldcdot 3  
  4. 2 \boldcdot x + 3
  5. (2 \boldcdot x) + 3  
  6. (2 + x)3

8.2 Cualquiera de las dos

  1. Explica por qué cada una de las ecuaciones podría representar el diagrama:

    14=2(x+3) o  14=2x+6

  2. Encuentra el peso de un círculo. Prepárate para explicar tu razonamiento.

8.3 Usemos colgadores para comprender cómo resolver ecuaciones, de nuevo

Estos son algunos colgadores balanceados. Cada figura está etiquetada con su peso.

Para cada diagrama:

  1. Asocia una de estas ecuaciones a cada colgador. 

    2(x+5)=16

    3(y+200)=3\!,000

    20.8=4(z+1.1)

    \frac{20}{3}=2\left(w+\frac23\right)

  2. Explica cómo averiguar el peso de cada pieza que está etiquetada con una letra, razonando sobre el diagrama.
  3. Explica cómo averiguar el peso de cada pieza que está etiquetada con una letra, razonando sobre la ecuación.

Resumen de la lección 8

En el lado izquierdo del colgador balanceado, hay 3 pesos iguales de valores desconocidos y 3 pesos de 2 unidades, y en el lado derecho hay un peso de 18 unidades.

En el lado izquierdo, hay 3 pesos de valores desconocidos más 6 unidades de peso. Podemos representar este colgador balanceado con una ecuación que se puede resolver de la misma forma que lo hicimos antes.

\begin {align} 3x+6&=18 \\ 3x&=12 \\ x&=4 \\ \end{align}

Como hay 3 grupos de x+2 en el lado izquierdo, podemos representar este colgador con una ecuación diferente:  3(x+2)=18 .

Los dos lados del colgador se balancean con los siguientes pesos: 3 grupos de x+2 unidades en un lado, y un peso de 18 unidades o 3 grupos de 6 unidades en el otro lado.

El colgador seguirá balanceado con \frac13 del peso de cada lado: \frac13 \boldcdot 3(x+2) = \frac13 \boldcdot 18 .

Podemos quitar 2 unidades de peso de ambos lados y el colgador seguirá balanceado. Esto es lo mismo que restar 2 de ambos lados de la ecuación.

Una ecuación para el nuevo colgador balanceado es x=4 . Esta resulta ser la solución de la ecuación original.

La siguiente es una manera concisa de escribir los pasos anteriores:

\begin{align} 3(x+2) &= 18 \\ x + 2 &= 6 & \text{después de multiplicar ambos lados por } \tfrac13 \\ x &= 4 & \text{después de restar 2 de ambos lados} \\ \end{align}

Problemas de práctica de la lección 8

  1. Este es un colgador:

    1. Escribe una ecuación para representar el colgador.
    2. Resuelve la ecuación, razonando con el colgador o con la ecuación misma. Explica tu razonamiento.
    Hanger has 5 groups of a circle + rectangle labeled with 2 on the left, rectangle labeled with 11 on the right

  2. Explica cómo cada parte de la ecuación 9=3(x+2) está representada en el colgador.

    • x
    • 9
    • 3
    • x+2
    • 3(x+2)
    • el signo igual

  3. De la siguiente lista, selecciona la palabra que describa mejor cada situación.

    1. Tú depositas dinero en una cuenta de ahorros, y cada año la cantidad de dinero en la cuenta aumenta en un 2.5%.
    2. Para cada automóvil vendido, se le paga un 6% del precio del automóvil a un vendedor.
    3. Alguien que come en un restaurante paga un 20% extra del precio de la comida. Este dinero extra es para la persona que sirvió la comida.
    4. Una tienda de muebles antiguos paga $200 por una silla, y le suma un 50% de esa cantidad, y la vende por $300.
    5. El precio normal de un colchón es $600, pero está en oferta y vale un 10% menos.
    6. Para cualquier artículo que compres en Texas, pagas un 6.25% adicional del precio del artículo para el gobierno estatal.
    1. Impuesto
    2. Comisión
    3. Descuento
    4. Incremento de precio
    5. Propina o gratificación
    6. Interés

  4. Clare dibujó este diagrama para que correspondiera a la ecuación 2x+16=50 , pero obtuvo una solución incorrecta al usar este diagrama. 

    A tape diagram partitioned into three different sized rectangles, labeled 2, x and 16. The total length of the bar is labeled 50.
    1. ¿Qué valor de x se puede encontrar al usar el diagrama?
    2. Muestra cómo arreglar el diagrama de Clare para que este corresponda con la ecuación de forma correcta. 
    3. Usa el nuevo diagrama para encontrar el valor correcto de  x .
    4. Explica cuál fue el error de Clare cuando dibujó su diagrama.