Lección 12Volumen de prismas rectos
Estudiemos volúmenes de prismas.
Metas de aprendizaje:
- Puedo explicar por qué el volumen de un prisma se puede determinar multiplicando el área de su base y su altura.
12.1 Tres prismas con el mismo volumen
Los rectángulos A, B y C representan las bases de tres prismas.
- Si cada prisma tiene la misma altura, ¿cuál tendrá el mayor volumen y cuál tendrá el menor? Explica tu razonamiento.
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Si cada prisma tiene el mismo volumen, ¿cuál tendrá la mayor altura y cuál la menor? Explica tu razonamiento.
12.2 Calculemos el volumen con cubos
Este applet tiene 64 cubos encajables, todos ubicados en el mismo lugar sobre la pantalla, como una pila de bloques escondidos. Siempre sabrán dónde está la pila porque está sobre el cuadrado gris. Pueden sacar tantos bloques como quieran de la pila, arrastrándolos por sus puntos rojos, hasta que tengan suficientes para construir lo que desean.
Hagan clic sobre los puntos rojos para cambiar entre movimientos de izquierda/derecha a movimientos de arriba/abajo.
También hay una figura sobre la cuadrícula. Esta marca la huella de las figuras a medida que las construyen.
- Usen la cara de un cubo encajable como la unidad de área, ¿cuál es el área de la figura? Expliquen su razonamiento.
- Usen los cubos encajables para construir la figura en el papel. Añadan otra capa de cubos sobre la figura que construyeron. Describan este objeto de tres dimensiones.
- ¿Cuál es el volumen del objeto? Expliquen su razonamiento.
- En este momento el objeto tiene una altura de 2. Hala el volumen:
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Si el objeto tuviera una altura de 5
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Si el objeto tuviera una altura de 8.5
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12.3 ¿Puedes calcular el volumen?
El applet tiene una colección de figuras tridimensionales.
- Determina si cada figura es un prisma.
- Adicionalmente, para cada prisma:
- Halla el área de la base del prisma.
- Halla la altura del prisma.
- Calcula el volumen del prisma.
| ¿Es un prisma? | área de la base del prisma (cm2) | altura (cm) | volumen (cm3) | |
|---|---|---|---|---|
| figura A | ||||
| figura B | ||||
| figura C | ||||
| figura D | ||||
| figura E | ||||
| figura F |
- Elige una figura usando el control deslizante.
- Rota la vista usando la herramienta Rotación de gráficos 3D, marcada con dos flechas curvas que se intersecan.
- Observa que cada poliedro tiene solo una etiqueta por cada cara. Si no se indican medidas, las caras son copias idénticas.
- Usa la herramienta de distancia, marcada con "cm", para hacer clic sobre cualquier segmento y encontrar su altura o longitud.
- Consejo relacionado con problemas técnicos: el cursor debe estar en la ventana de Gráficos 3D para que aparezca la barra de herramientas completa.
¿Estás listo para más?
Imagina un cubo sólido grande hecho de 64 cubos encajables blancos. Alguien pinta con aerosol azul todas las 6 caras del cubo grande. Después de que la pintura se seca, se desarma el cubo grande en un pila de 64 cubos encajables.
- ¿Cuántos de esos 64 cubos encajables tienen exactamente 2 caras que son azules?
- ¿Cuáles son otros números posibles de caras azules que pueden tener los cubos ? ¿Cuántos hay de cada tipo?
- Intenta este problema nuevamente con cubos de mayor tamaño en los que se requieran más de 64 cubos encajables para construirlos. ¿Qué regularidades observas?
12.4 ¿Cuál es la altura del prisma?
Hay 4 prismas diferentes, todos con el mismo volumen. Así es cómo se ve la base de cada prisma:
- Ordena los prismas del más pequeño al más alto. Explica tu razonamiento.
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Si el volumen de cada prisma es 60 unidades3, ¿cuál sería la altura de cada prisma?
- Si el volumen es distinto de 60 unidades3, ¿cuál podría ser la altura de cada prisma?
- Discute tu pensamiento con tu compañero. Si están en desacuerdo, trabajen para lograr un acuerdo.
Resumen de la lección 12
Cualquier sección transversal de un prisma que sea paralela a la base será idéntica a la base. Esto quiere decir que podemos hacer cortes al prisma para ayudarnos a encontrar su volumen. Por ejemplo, si tenemos un prisma rectangular que tiene 3 unidades de alto y tiene una base de 4 unidades por 5 unidades, se puede pensar en 3 capas, donde cada capa tiene unidades cúbicas.
Lo que significa que el volumen del prisma rectangular original es unidades cúbicas.
¡Esto funciona para cualquier prisma! Si se tiene un prisma con altura de 3 cm que tiene una base de área 20 cm2, entonces su volumen es cm3, independientemente de la forma de la base. En general, el volumen de un prisma con altura y área es:
Por ejemplo, estos dos prismas tienen ambos un volumen de 100 cm3.
Problemas de práctica de la lección 12
- Selecciona todos los prismas.
- En cada prisma, sombrea una de sus bases.
- El volumen de ambos prismas trapezoidales es 24 unidades cúbicas. Sus alturas son 6 y 8 unidades, como se ve. ¿Cuál es el área de la base de cada prisma trapezoidal?
Dos ángulos son complementarios. Uno mide 19 grados. ¿Cuánto mide el otro?
Dos ángulos son suplementarios. Uno mide el doble que el otro. Encuentra las medidas de los dos ángulos.
Empareja cada expresión de la primera lista con una expresión equivalente de la segunda lista.
Clare pagó 50% más por su cuaderno de lo que Priya pagó por el suyo. Priya pagó dólares por su cuaderno y Clare pagó dólares por el suyo. Escribe una ecuación que represente la relación entre y .