Open Up Resources Logo

Lección 10Composición de figuras

Razonemos sobre transformaciones rígidas para encontrar medidas sin necesidad de medir. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo encontrar las longitudes de los lados o medidas de los ángulos que faltan usando propiedades de las transformaciones rígidas.

10.1 Ángulos de un triángulo isósceles

Este es un triángulo.

A triangle labeled A B C with horizontal side B C labeled 2 and sides A B and A C are each labeled 3.
  1. Refleja el triángulo ABC con respecto a la recta AB . Etiqueta la imagen de C con  C' .
  2. Rota el triángulo ABC’ alrededor de  A para que  C' coincida con  B .

  3. ¿Qué puedes decir de las medidas de los ángulos  B y  C ?

10.2 Triángulo mas uno

Este es el triángulo ABC .

  1. Dibuja el punto medio M del lado AC .

  2. Rota el triángulo ABC 180 grados usando el centro  M para formar el triángulo  CDA . Dibuja y etiqueta este triángulo.

  3. ¿Qué tipo de cuadrilátero es ABCD ? Explica cómo lo sabes.

¿Estás listo para más?

En la actividad formamos un paralelogramo tomando un triángulo y su imagen al realizar una rotación de 180 grados alrededor del punto medio de un lado. Este diagrama te ayuda a justificar una fórmula muy conocida del área de un triángulo. ¿Cuál es la fórmula y cómo ayuda la figura a justificarla?

10.3 Triángulo mas dos

El dibujo muestra 3 triángulos. El triángulo 2 y el triángulo 3 son imágenes del triángulo 1 al realizan ciertas transformaciones rígidas.

  1. Describe una transformación rígida que lleve el triángulo 1 al triángulo 2. ¿Qué puntos del triángulo 2 corresponden a los puntos  A , B  y  C en el triángulo original?

  2. Describe una transformación rígida que lleve el triángulo 1 al triángulo 3. ¿Qué puntos del triángulo 3 corresponden a los puntos  A , B  y  C en el triángulo original?

  3. Encuentra dos pares de segmentos de recta en el diagrama que tengan la misma longitud y explica cómo sabes que tienen la misma longitud.

  4. Encuentra dos pares de ángulos en el diagrama que tengan la misma medida y explica cómo sabes que tienen la misma medida.

10.4 El triángulo ONE y más

Este es el triángulo isósceles  ONE . Sus lados ON y  OE tienen la misma longitud. El ángulo O mide 30 grados. La longitud de ON es 5 unidades.

  1. Refleja el triángulo ONE con respecto al segmento  ON . Etiqueta el nuevo vértice con M .

  2. ¿Cuál es la medida del ángulo MON ?

  3. ¿Cuál es la medida del ángulo  MOE ?

  4. Refleja el triángulo  MON con respecto al segmento OM . Etiqueta el punto que corresponde a N con T .

  5. ¿Qué tan largo es \overline{OT} ? ¿Cómo lo sabes?

  6. ¿Cuál es la medida del ángulo TOE ?

  7. Si continúas reflejando cada nuevo triángulo de esta manera para hacer un patrón, ¿cómo se verá el patrón? 

Resumen de la lección 10

Antes, aprendimos que si aplicamos una secuencia de transformaciones rígidas a una figura, entonces los lados correspondientes tienen la misma longitud y los ángulos correspondientes tienen la misma medida. ¡Estos hechos nos permiten averiguar cosas sin tener que medir!

Por ejemplo, este es el triángulo  ABC .

A triangle A, B, C where the interior angle at A has measure 36 degrees.

Podemos reflejar el triángulo  ABC con respecto al lado AC para formar un nuevo triángulo:

Triangle A, B, C, with angle with measure 36 degrees at A. It has been reflected in the side A, B.

Como los puntos A y  C están sobre la recta de reflexión, no se mueven. Así que la imagen del triángulo  ABC es  AB'C . Además sabemos que:

  • El ángulo B'AC mide  36^\circ porque es la imagen del ángulo  BAC .
  • El segmento  AB' tiene la misma longitud que el segmento  AB .

Cuando construimos figuras usando copias de una figura que están hechas a partir de transformaciones rígidas, sabemos que las medidas de las imágenes de los segmentos y los ángulos serán las mismas medidas de los segmentos y ángulos originales.

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Este es el diseño de la bandera de Trinidad y Tobago.

    “The Flag of Trinidad and Tobago” vía Wikimedia Commons. Dominio público.

    Describe una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones que lleven el triángulo inferior izquierdo al triángulo superior derecho.

  2. Esta es una imagen de una versión más antigua de la bandera del Reino Unido. Hay una transformación rígida que lleva el triángulo 1 al triángulo 2, otra que lleva el triángulo 1 al triángulo 3 y otra que lleva el triángulo 1 al triángulo 4.

    An image of an older version of the flag of Great Britain. The flag is a rectangle with a vertical length about twice the width. Red stripes divide the flag in half vertically and horizontally. White stripes connect the vertices along diagonals, crossing behind the red stripes. The remaining area is composed of 8 blue right triangles. At the top of the flag, 2 large right triangles line up on either side of the vertical red stripe by their shorter square sides, so that they are mirror images of each other. At the bottom of the flag, 2 large right triangles line up on either side of the vertical red stripe by their shorter square sides, so that they are mirror images of each other. At the left side, 2 small right triangles line up on either side of the horizontal red stripe by their longer square sides so that they are mirror images of each other. The triangle above the red stripe is labeled 1; the triangle below the red strip is labeled 3. At the right side, 2 small right triangles line up on either side of the horizontal red stripe by their longer square sides so that they are mirror images of each other. The triangle above the red stripe is labeled 2; the triangle below the red strip is labeled 4.
    “Flag of Great Britain (1707–1800)” por Hoshi vía Wikimedia Commons. Dominio público.
    1. Mide las longitudes de los lados en los triángulos 1 y 2. ¿Qué observas?
    2. ¿Cuáles son las longitudes de los lados del triángulo 3? Explica cómo lo sabes.
    3. ¿Todos los triángulos de la bandera tienen la misma área? Explica cómo lo sabes.
    1. ¿Cuál de las rectas del diagrama es paralela a la recta  \ell ? Explica cómo lo sabes.
      Four lines are drawn so that one line, labeled “p”, intersects the other 3 lines, which are labeled “m,” “k,” and “l.” Lines “k” and “l” will not intersect no matter how far they extend. Both are perpendicular to line “p.” Line “m” is not perpendicular “p” and appears to be angled towards “k” and “l” so that it would intersect them at a point not shown.
    2. Explica cómo trasladar, rotar o reflejar la recta  \ell para obtener la recta  k .
    3. Explica cómo trasladar, rotar o reflejar la recta \ell para obtener la recta p .

  4. El punto A tiene coordenadas (3,4) . Después de una traslación de 4 unidades hacia la izquierda, una reflexión con respecto al eje x y una traslación de 2 unidades hacia abajo, ¿cuáles son las coordenadas de la imagen?

  5. Este es el triángulo XYZ :

    Dibuja estas tres rotaciones del triángulo XYZ juntas.

    1. Rotar el triángulo  XYZ 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de  Z .
    2. Rotar el triángulo XYZ 180 grados alrededor de Z .
    3. Rotar el triángulo XYZ 270 grados en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de  Z .