Lección 9Movidas en paralelo
Transformemos algunas rectas.
Metas de aprendizaje:
- Puedo describir los efectos que tiene una transformación rígida sobre un par de rectas paralelas.
- Si tengo un par de ángulos opuestos y conozco la medida de ángulo de uno de ellos, puedo encontrar la medida de ángulo del otro.
9.1 Movidas de rectas
Para cada diagrama, describe la traslación, rotación o reflexión que lleva la recta a la recta . Luego ubica y etiqueta y , las imágenes de y .
9.2 Rectas paralelas
![Three parallel lines. One is labelled A. One is labelled with B. There is a point on line B labelled with a K. The third line is labelled H.](../../../../embeds/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBaHBBdk1vIiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJibG9iX2lkIn19--01e627968b3afeec8c2df7eb1f672a5111330935/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBZzZGMjF6WDIxaGRHaGZkakpmWkdsbmFYUmhiQT09IiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJ2YXJpYXRpb24ifX0=--9c87e6556271e1d3a3a9dc16b03f00c39ee39775/8.1.B3.Image.05.png)
Usen una hoja de papel de calcar para trazar las rectas y y el punto . Luego, usen papel de calcar para dibujar las imágenes de las rectas al realizar estas tres transformaciones distintas de la lista.
Mientras realizan cada transformación, piensen en la pregunta:
¿Cuál es la imagen de dos rectas paralelas al realizar una transformación rígida?
-
Trasladen las rectas y 3 unidades hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha.
- ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas y luego de la traslación?
- ¿Qué tienen en común la original y la imagen?
-
Roten las rectas y en sentido contrario a las manecillas del reloj 180 grados usando como centro de rotación.
- ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas y luego de la rotación?
-
¿Qué tienen en común la original y la imagen?
-
Reflejen las rectas y con respecto a la recta .
- ¿Qué observan acerca de los cambios que les ocurren a las rectas y luego de la reflexión?
- ¿Qué tienen en común la original y la imagen?
¿Estás listo para más?
Cuando se rotan dos rectas paralelas, algunas veces las dos rectas originales intersecan sus imágenes y forman un cuadrilátero. ¿Qué es lo más específico que puedes decir de este cuadrilátero?, ¿puede ser un cuadrado?, ¿un rombo?, ¿un rectángulo que no es un cuadrado? Explica tu razonamiento.
![](../../../../embeds/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBaHBBdklvIiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJibG9iX2lkIn19--fbf6dbb95108c5d68eb76173e8836a9b59411078/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBZzZGMjF6WDIxaGRHaGZkakpmWkdsbmFYUmhiQT09IiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJ2YXJpYXRpb24ifX0=--9c87e6556271e1d3a3a9dc16b03f00c39ee39775/8.1.B3.Image.09.png)
9.3 Hagamos rotaciones de 180
- El diagrama muestra una recta con puntos etiquetados , , y .
-
En el diagrama, dibuja la imagen de la recta y los puntos , y , luego de que la recta se haya rotado 180 grados alrededor del punto .
-
Etiqueta las imágenes de los puntos , y .
-
¿Cuál es el orden de los siete puntos? Explica o muestra tu razonamiento.
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- El diagrama muestra una recta con puntos y sobre la recta y un segmento , en donde no está en la recta.
-
Rota la figura 180 grados alrededor del punto . Etiqueta la imagen de con y la imagen de con .
-
¿Qué sabemos sobre la relación entre el ángulo y el ángulo ? Explica o muestra tu razonamiento.
-
- El diagrama muestra dos rectas y que se intersecan en un punto , con el punto sobre y el punto sobre .
-
Rota la figura 180 grados alrededor de . Etiqueta la imagen de con y la imagen de con .
-
¿Qué sabes acerca de la relación entre los ángulos en la figura? Explica o muestra tu razonamiento.
-
Resumen de la lección 9
Las transformaciones rígidas tienen las siguientes propiedades:
-
Una transformación rígida de una recta es una recta.
-
Una transformación rígida de dos rectas paralelas da como resultado dos rectas paralelas que están a la misma distancia que las originales.
-
Algunas veces, una transformación rígida lleva una recta a sí misma. Por ejemplo:
-
Una traslación paralela a la recta. La flecha muestra una traslación de la recta que llevará a sí misma.
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Una rotación de alrededor del punto llevará a sí misma.
-
Una reflexión con respecto a cualquier recta perpendicular a la recta. Una reflexión de la recta con respecto a la recta punteada llevará a sí misma.
-
Estos hechos nos permiten sacar una conclusión importante. Si dos rectas se intersecan en un punto, que llamaremos , entonces una rotación de de las rectas con centro muestra que los ángulos opuestos son congruentes. Este es un ejemplo:
![A pair of lines that intersect at point O. Two pairs of congruent vertical angles are labelled.](../../../../embeds/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBaHBBak1nIiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJibG9iX2lkIn19--9158d578e939fb02b5ab17150e8534357fbcc207/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBZzZGMjF6WDIxaGRHaGZkakpmWkdsbmFYUmhiQT09IiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJ2YXJpYXRpb24ifX0=--9c87e6556271e1d3a3a9dc16b03f00c39ee39775/8.1.B3.Image.18.png)
Rotar ambas rectas alrededor de lleva el ángulo al ángulo , lo que demuestra que tienen la misma medida. La rotación también lleva el ángulo al ángulo .
Términos del glosario
Los ángulos opuestos se forman cuando dos rectas se intersecan. Comparten un vértice y están uno frente al otro. Su medida es la misma.
Por ejemplo, los ángulos y son ángulos opuestos. Si el ángulo mide , entonces el ángulo debe medir también .
Los ángulos y forman otro par de ángulos opuestos.
![](../../../../embeds/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBaHBBcU1zIiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJibG9iX2lkIn19--81d4c4367a56e6a74fa7002478d73ff08cf3f8d7/eyJfcmFpbHMiOnsibWVzc2FnZSI6IkJBZzZGMjF6WDIxaGRHaGZkakpmWkdsbmFYUmhiQT09IiwiZXhwIjpudWxsLCJwdXIiOiJ2YXJpYXRpb24ifX0=--9c87e6556271e1d3a3a9dc16b03f00c39ee39775/7.7.8.png)
Problemas de práctica de la lección 9
- Dibuja las rectas paralelas y .
- Elige cualquier punto como . Rota 90 grados en la dirección de las manecillas del reloj alrededor de .
- Rota 90 grados en la dirección de las manecillas del reloj alrededor de .
- ¿Qué observas?
Usa el diagrama para encontrar las medidas de cada ángulo. Explica tu razonamiento.
Los puntos y están marcados sobre una recta.
- Encuentra un punto de forma que una rotación de 180 grados con centro envíe a y a .
- ¿Hay más de un punto que funcione para la parte a?
En la imagen el triángulo es una imagen del triángulo después de una rotación. El centro de rotación es .
- ¿Cuál es la longitud del lado ? Explica cómo lo sabes.
- ¿Cuál es la medida del ángulo ? Explica cómo lo sabes.
- ¿Cuál es la medida del ángulo ? Explica cómo lo sabes.
El punto se rota 180 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj usando como centro. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen?