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Lección 12Polígonos congruentes

Decidamos si dos figuras son congruentes.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo decidir usando transformaciones rígidas si dos figuras son o no son congruentes.

12.1 Imágenes trasladadas

Todos estos triángulos son congruentes. Algunas veces podemos llevar una figura a otra usando una traslación. Sombrea los triángulos que sean imágenes del triángulo  ABC al realizar una traslación.

12.2 Parejas congruentes (Parte 1)

Para cada una de las siguientes parejas de figuras, decide si son congruentes o no. Explica tu razonamiento.

12.3 Parejas congruentes (Parte 2)

Para cada pareja de figuras, decide si la figura A es o no es congruente con la figura B. Explica cómo lo sabes.

¿Estás listo para más?

Un polígono tiene 8 lados: cinco de longitud 1, dos de longitud 2 y uno de longitud 3. Todos los lados están sobre rectas de la cuadrícula (usar papel de calcar puede ayudarte en este problema).

  1. Encuentra un polígono con estas características. 

  2. ¿Hay un segundo polígono, no congruente con el primero, con estas características?

12.4 Construyamos cuadriláteros

El profesor le entregará a cada uno una colección de cuatro objetos.

  1. Hagan un cuadrilátero con sus cuatro objetos y anoten qué hicieron.

  2. Comparen su cuadrilátero con el de su compañero. ¿Son congruentes? Expliquen cómo lo saben.

  3. Repitan los pasos 1 y 2, formando cuadriláteros diferentes. Si sus primeros cuadriláteros no eran congruentes, ¿pueden construir una pareja que sí lo sean? Si sus primeros cuadriláteros eran congruentes, ¿pueden construir una pareja que no lo sea? Expliquen.

Resumen de la lección 12

¿Cómo sabemos si dos figuras son congruentes? 

  • Si copiamos una figura sobre papel de calcar y movemos el papel para que la copia cubra exactamente la otra figura, entonces eso sugiere que son congruentes.

  • Podemos demostrar que dos figuras son congruentes describiendo una secuencia de traslaciones, rotaciones y reflexiones que mueva una figura hacia la otra de manera que coincidan exactamente. 

¿Cómo sabemos que dos figuras no son congruentes?

  • Si no hay correspondencia entre las figuras donde las partes tienen medidas iguales, eso demuestra que las dos figuras no son congruentes. En particular:

    • Si las longitudes de los lados de dos polígonos son diferentes, estos no pueden ser congruentes. Por ejemplo, las longitudes de los lados de la figura a la izquierda son 3, 2, 1, 1, 2, 1. Las longitudes de los lados de la figura a la derecha son 3, 3, 1, 2, 2, 1. No hay forma de establecer una correspondencia entre ellas en la que todos los lados correspondientes tengan la misma longitud. 

    • Si las longitudes de los lados de dos polígonos son iguales, pero su orden no se puede hacer coincidir a medida que se recorre cada polígono, los polígonos no pueden ser congruentes.  Por ejemplo, el rectángulo ABCD no puede ser congruente al cuadrilátero EFGH . A pesar de que ambos tienen dos lados de longitud 3 y dos lados de longitud 5, estos no tienen una correspondencia en el mismo orden. En ABCD , el orden es 3, 5, 3, 5 o 5, 3, 5, 3; en EFGH , el orden es 3, 3, 5, 5 o 3, 5, 5, 3 o 5, 5, 3, 3.

    • Si las longitudes de los lados de dos polígonos son iguales, en el mismo orden, pero tienen ángulos correspondientes diferentes, los polígonos no pueden ser congruentes. Por ejemplo, el paralelogramo  JKLM no puede ser congruente al rectángulo  ABCD . A pesar de que las longitudes de sus lados son iguales, los ángulos son diferentes. Todos los ángulos en  ABCD son ángulos rectos. En JKLM , los ángulos  J y  L miden menos de 90 grados y los ángulos  K y  M miden más de 90 grados.

Problemas de práctica de la lección 12

    1. Muestra que los dos pentágonos son congruentes.
    2. Determina las longitudes de los lados de  ABCDE y las medidas de los ángulos de  FGHIJ .

  2. Para cada pareja de figuras, decide si las dos figuras son o no congruentes. Explica tu razonamiento.

    1. Dibuja el segmento PQ .
    2. Cuando PQ se rota  180^\circ alrededor del punto  R , el segmento que resulta es el mismo que PQ . ¿Dónde podría estar ubicado el punto R ?

  4. Este es el trapecio ABCD .

    Usando transformaciones rígidas sobre el trapecio, construye un patrón. Describe algunas de las transformaciones rígidas que usaste.