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Lección 1Comprendamos las relaciones proporcionales

Estudiemos algunas gráficas

Metas de aprendizaje:

  • Puedo graficar una relación proporcional a partir de una historia.
  • Puedo usar la constante de proporcionalidad para comparar el ritmo de diferentes animales.

1.1 Observa y pregúntate: dos gráficas

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas?

1.2 Pasemos por varias representaciones

Un escarabajo y una hormiga se mueven a rapidez constante. Los diagramas con marcas muestran sus posiciones en diferentes tiempos. Cada marca representa 1 centímetro.

  1. Las rectas  u  y v  también muestran las posiciones de los dos insectos. ¿Qué recta muestra el movimiento del escarabajo? ¿Qué recta muestra el movimiento de la hormiga? Explica tu razonamiento.

  2. ¿Cuánto tarda el escarabajo en desplazarse 12 cm?, ¿y la hormiga?

  3. Establece la escala de los ejes verticales y horizontales etiquetando cada recta de la cuadricula con un número. Tendrás que usar la información de tiempo y distancia que se muestra en los diagramas con marcas.

  4. Marca y etiqueta el punto en la recta  u  y el punto en la recta  v  que representan el tiempo y la posición de cada insecto después de recorrer 1 cm.

¿Estás listo para más?

  1. ¿Qué tan rápido se desplaza cada insecto?
  2. ¿Alguna vez habrá un momento en que el insecto morado (hormiga) esté al doble de la distancia del punto de partida que el insecto rojo (escarabajo)? Explica o muestra tu razonamiento.

1.3 Moverse el doble de rápido

Consulta los diagramas con marcas y la gráfica de la actividad anterior cuando lo necesites.

  1. Imagina un insecto que se mueve el doble de rápido que el escarabajo. En cada diagrama con marcas, anota la posición de este insecto.
  2. Ubica las posiciones de este insecto en los ejes de coordenadas con las rectas  u y  v y únelos con una recta.
  3. Escribe una ecuación para cada una de las tres rectas.

Resumen de la lección 1

Graficar es una forma de ayudarnos a darle sentido a las relaciones; pero la gráfica de una recta en un eje de coordenadas sin escala o etiquetas no es muy útil. Por ejemplo, digamos que sabemos que en recorridos en bicicleta largos, Kiran puede recorrer 4 millas cada 16 minutos y Mai puede recorrer 4 millas cada 12 minutos. Estas son las gráficas de estas relaciones:

¡Sin etiquetas ni siquiera podemos decir cuál recta representa a Kiran y cuál representa a Mai! Sin etiquetas y sin una escala en los ejes, no podemos usar estas gráficas para responder preguntas como las siguientes:

  1. ¿Cuál recta corresponde a cuál ciclista?
  2. ¿Quién avanza más rápido?
  3. Si Kiran y Mai comienzan un viaje en bicicleta al mismo tiempo, ¿qué tan lejos están después de 20 minutos?
  4. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno llegar en bicicleta al final de la ruta de 12 millas?

Estas son las mismas gráficas, pero ahora con etiquetas y escala:

Revisando las preguntas de antes:

  1. ¿Qué gráfica corresponde a qué ciclista? Si Kiran recorre 4 millas en 16 minutos, entonces el punto (4,16)  está en su gráfica. Si él avanza 1 milla, le tomará 4 minutos. 10 millas le tomarán 40 minutos. Entonces, la gráfica de arriba representa el recorrido de Kiran. Los puntos de Mai para las mismas distancias son (1,3) , (4,12) y  (10,30) , entonces la de ella es la gráfica de abajo (¡una letra al lado de cada recta nos ayudaría a recordar cuál es cuál!).

  2. ¿Quién avanza más rápido? Mai viaja más rápido porque puede recorrer la misma distancia que Kiran en menos tiempo.

  3. Si Kiran y Mai comienzan un viaje en bicicleta al mismo tiempo, ¿qué tan lejos están después de 20 minutos? Los puntos de las gráficas a la altura 20 son 5 millas para Kiran y un poco menos de 7 millas para Mai.

  4. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno llegar en bicicleta al final de la ruta de 12 millas? Los puntos en las gráficas a la distancia horizontal de 12 son 36 minutos para Mai y 48 minutos para Kiran (¡el tiempo de Kiran después de 12 millas está casi fuera de la cuadrícula!).

Problemas de práctica de la lección 1

  1. Priya trota a una rapidez constante. La gráfica muestra la relación entre la distancia y el tiempo de Priya. Diego monta en bicicleta a una rapidez constante, y anda el doble de rápido que Priya. Dibuja una gráfica que muestre la relación entre la distancia y el tiempo de Diego.

  2. Una granja de autocosecha de arándanos ofrece 6 lbs de arándanos por $16.50.

    Dibuja una gráfica de la relación entre el costo y las libras de arándanos.

  3. Una recta contiene los puntos  (\text-4,1) y  (4,6) . Decide si cada uno de estos puntos también está o no sobre la recta:

    1. (0,3.5)
    2. (12,11)
    3. (80,50)
    4. (\text-1,2.875)

  4. Los puntos  (2,\text-4) , (x,y) , A y  B están todos sobre la recta. Encuentra una ecuación que relacione  x y  y .