Lección 2Gráficas de relaciones proporcionales
Pensemos en la escala.
Metas de aprendizaje:
- Puedo decir cuándo dos gráficas son de la misma relación proporcional aun si las escalas son diferentes.
- Puedo graficar una relación proporcional a partir de una ecuación.
2.1 Una situación desconocida
Esta es una gráfica que podría representar varias situaciones diferentes.
- Escribe una ecuación para la gráfica.
- Dibuja una nueva gráfica de esta relación.
2.2 Clasificación de tarjetas: relaciones proporcionales
Tu profesor te dará 12 gráficas de relaciones proporcionales.
- Clasifica las gráficas en grupos, según la relación proporcional que representan (las gráficas de un mismo grupo deben representar la misma relación).
- Escribe una ecuación para cada relación proporcional diferente que encuentres.
2.3 Diferentes escalas
Dos tanques grandes se llenan con agua. El tanque A no se llena a una tasa constante, y la relación entre su volumen de agua y el tiempo se grafica en cada par de ejes. El tanque B se llena a una tasa constante de litros por minuto. La relación entre su volumen de agua y el tiempo puede describirse mediante la ecuación , donde es el tiempo en minutos y es el volumen total en litros de agua en el tanque.
- Dibuja y etiqueta una gráfica de la relación entre el volumen de agua y el tiempo para el tanque B en cada uno de los ejes.
- Responde las siguientes preguntas y señala qué gráfica utilizaste para encontrar tu respuesta.
- Después de 30 segundos, ¿cuál tanque tiene más agua?
- ¿Aproximadamente en qué tiempos ambos tanques tienen la misma cantidad de agua?
- ¿Aproximadamente en qué tiempos los dos tanques contienen litro de agua?, ¿20 litros de agua?
¿Estás listo para más?
Una tortuga gigante viaja a 0.17 millas por hora y una liebre ártica viaja a 37 millas por hora.
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Dibuja gráficas separadas que muestren la relación entre el tiempo transcurrido, en horas, y la distancia recorrida, en millas, tanto para la tortuga como para la liebre.
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¿Sería útil tratar de poner ambas gráficas en el mismo par de ejes? ¿Por qué sí o por qué no?
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La tortuga y la liebre comienzan juntas, y después de media hora la liebre se detiene para tomar un descanso. ¿Cuánto tarda la tortuga en alcanzarla?
Resumen de la lección 2
Las escalas que elegimos al graficar una relación a menudo dependen de qué información queremos saber. Por ejemplo, supongamos que dos tanques de agua se llenan a diferentes tasas constantes. La relación entre el tiempo en minutos y el volumen en litros del tanque A está dada por . Para el tanque B la relación es .
Estas ecuaciones nos dicen que el tanque A se está llenando a una tasa constante de 2.2 litros por cada minuto y el tanque B se está llenando a una tasa constante de 2.75 litros por cada minuto.
Si queremos usar gráficas para ver en qué momento los dos tanques tendrán 110 litros de agua, entonces no es muy útil utilizar una escala para los ejes que esté entre 0 y 10, como se muestra acá:
Si usamos una escala vertical que vaya hasta 150 litros, un poco más allá de los 110 que estamos buscando, y una escala horizontal que llegue a 100 minutos, obtenemos un par de ejes mucho más útiles para responder a nuestra pregunta.
Ahora podemos ver que los dos tanques alcanzarán 110 litros con 10 minutos de diferencia, el tanque B después de 40 minutos y el tanque A después de 50 minutos.
Es importante observar que las dos gráficas son correctas, pero una usa un rango de valores que ayuda a responder la pregunta. Para siempre elegir una escala útil, debemos considerar la situación y las preguntas que se hacen al respecto.
Problemas de práctica de la lección 2
La tortuga y la liebre están corriendo una carrera. Después de que la liebre corre 16 millas, la tortuga solo ha corrido 4 millas.
La relación entre la distancia que la tortuga "corre" en millas por cada millas que corre la liebre es . Grafica esta relación.
La tabla muestra una relación proporcional entre el peso en una báscula de resorte y la distancia que el resorte se ha estirado.
- Completa la tabla.
- Describe las escalas que podrías usar en los ejes y de una cuadrícula de coordenadas para mostrar todas las distancias y pesos de la tabla.
distancia (cm) peso (newtons) 20 28 55 140 1 Encuentra una secuencia de rotaciones, reflexiones, traslaciones y dilataciones que muestre que una figura es semejante a la otra. Sé específico: indica la cantidad y dirección de una traslación, una recta de reflexión, el centro y el ángulo de una rotación, y el centro y el factor de escala de una dilatación.
Considera el siguiente diálogo:
Andre dijo: "Encontré dos figuras que son congruentes, entonces no pueden ser semejantes".
Diego dijo: "No, ¡sí son semejantes! El factor de escala es 1".
¿Quién está en lo cierto? Utiliza la definición de semejanza para explicar tu respuesta.