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Lección 10Calculemos la pendiente

Calculemos la pendiente a partir de dos puntos.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo calcular pendientes positivas y negativas dados dos puntos sobre la recta.
  • Puedo describir una recta de forma lo suficientemente precisa para que otro estudiante la pueda dibujar.

10.1 Repaso de operaciones con números enteros

Halla valores de a y de b que hagan que cada lado de la igualdad tenga el mismo valor.

  1. \frac{a}{b}=\text-2
  2. \frac{a}{b}=2
  3. a-b=\text-2

10.2 Hacia una fórmula más general para la pendiente

  1. Ubica los puntos (1,11) y (8, 2) , y utiliza una regla para dibujar la recta que pasa por ellos.

  1. Sin hacer cálculos, ¿esperas que la pendiente de la recta que pasa por  (1,11) y por (8, 2) sea positiva o negativa? ¿Cómo lo sabes?

  2. Calcula la pendiente de esta recta.

¿Estás listo para más?

Halla el valor de k para que la recta que pasa por cada par de puntos tenga la pendiente dada.

  1. (k,2) y (11,14) , pendiente = 2

  2. (1,k) y (4,1) , pendiente = -2

  3. (3,5) y (k,9) , pendiente = \frac12

  4. (\text-1,4) y (\text-3,k) , pendiente = \frac{\text{-}1}{2}

  5. (\frac {\text{-}15}{2},\frac{3}{16}) y (\frac {\text{-}13}{22},k) , pendiente = 0

10.3 Hagamos diseños

Tu profesor te dará un diseño o una cuadrícula en blanco. No muestres tu tarjeta a tu compañero.

Si tu profesor te entrega el diseño:

  1. Mira el diseño en silencio y piensa en cómo podrías comunicar lo que debe dibujar tu compañero. Piensa en formas en las que puedes describir cómo se ve una recta, tales como su pendiente o puntos por los que pasa.
  2. Describe cada recta, una por una, y da a tu compañero tiempo para dibujarlas.
  3. Solo cuando tu compañero crea que ha dibujado las tres rectas que describiste, entonces debes mostrarle el diseño.

Si tu profesor te entrega la cuadrícula en blanco:

  1. Escucha con cuidado mientras tu compañero describe cada recta y dibuja cada recta con base en su descripción.
  2. No puedes pedir más información sobre una recta que la que te da tu compañero.
  3. No muestres tu dibujo a tu compañero hasta que hayas terminado de dibujar todas las rectas que describió.

Cuando termines, pon el dibujo junto a la tarjeta que tiene el diseño para que tú y tu compañero puedan verlos. ¿En qué se parece el dibujo al diseño?, ¿en qué se diferencia? Discutan cualquier falta de comunicación que haya causado que el dibujo se vea diferente al diseño.

Haz una pausa aquí para que el profesor pueda revisar tu trabajo. Cuando tu profesor les dé un nuevo grupo de tarjetas, intercambien los roles para trabajar en el segundo problema.

Resumen de la lección 10

Anteriormente, aprendimos que una forma de hallar la pendiente de una recta es dibujando un triángulo de pendiente. Por ejemplo, si utilizamos el triángulo de pendiente que se muestra aquí, la pendiente de la recta es  \text{-}\frac24 o  \text{-}\frac12 (sabemos que la pendiente es negativa porque la recta va hacia abajo de izquierda a derecha).

Sin embargo, los triángulos de pendiente son solo una manera de calcular la pendiente de una recta. Calculemos la pendiente de esta recta de una forma diferente, utilizando únicamente los puntos  A=(1,5) y B=(5,3) . Como sabemos que la pendiente es el cambio vertical dividido entre el cambio horizontal, podemos calcular el cambio en los valores de y y luego el cambio en los valores de x . Entre los puntos A y B , el cambio en el valor de y es  3-5=\text{-}2 y el cambio en el valor de x es 5-1=4 . Esto significa que la pendiente es \text{-}\frac24 o  \text{-}\frac12 , que es el mismo valor que hallamos utilizando el triángulo de pendiente.

Observa que en cada uno de los cálculos, restamos el valor del punto A al valor del punto B . Si lo hubiéramos hecho al contrario, entonces el cambio en el valor de y hubiera sido  5-3=2 y el cambio en el valor de x hubiera sido 1-5=\text-4 , lo que igualmente nos da una pendiente de  \text- \frac12 . Pero, ¿qué pasa si mezclamos los órdenes? Si eso hubiera pasado, creeríamos que la pendiente de la recta es \frac12  positivo ya que habríamos calculado  \frac{\text-2}{\text-4} o \frac{2}{4} . Como ya tenemos una gráfica de la recta y podemos ver que tiene una pendiente negativa, esto claramente es incorrecto. Si no tenemos una gráfica para comprobar nuestros cálculos, podríamos pensar en cómo el punto que está a la izquierda,  (1,5) , está más arriba que el punto que está a la derecha, (5,3) , lo que significa que la pendiente de la recta debe ser negativa.

Problemas de práctica de la lección 10

  1. Para cada gráfica, calcula la pendiente de la recta.

  2. Asocia a cada par de puntos la pendiente de la recta que los une.

    1. (9,10) y  (7,2)
    2. (\text-8,\text-11) y (\text-1,\text-5)
    3. (5,\text-6) y  (2,3)
    4. (6,3) y (5,\text-1)
    5. (4,7) y (6,2)
    1. 4
    2. \text-3
    3. \text-\frac52
    4. \frac67

  3. Dibuja una recta que tenga la pendiente dada y que pase por el punto dado. ¿Qué otro punto está sobre esa recta?

    1. Punto A, pendiente = \text-3
    2. Punto A, pendiente = \frac {\text{-}1}{4}
    3. Punto C, pendiente = \frac {\text{-}1}{2}
    4. Punto E, pendiente = \frac {\text{-}2}{3}

  4. Dibuja la gráfica de una relación lineal con pendiente 4 e intersección con el eje  y negativa. Muestra cómo sabes que la pendiente es 4 y escribe una ecuación para la recta.