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Lección 9Las pendientes no tienen que ser positivas

Averigüemos lo que significa una pendiente negativa.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo dar un ejemplo de una situación que tendría una pendiente negativa al ser graficada.
  • Puedo mirar una gráfica y saber si la pendiente es positiva o negativa y explicar cómo lo sé.

9.1 ¿Cuál es diferente?: para afuera la recta rara

¿Cuál recta es diferente?

9.2 Por favor, aléjese de las puertas cuando se están cerrando

Noah puso $40 en su tarjeta de transporte. Cada vez que usa el transporte público, se resta $2.50 a la cantidad de dinero que hay disponible en su tarjeta.

  1. Después de realizar estos viajes, ¿cuánto dinero, en dólares, hay disponible en su tarjeta?
    1. 0 viajes
    2. 1 viaje
    3. 2 viajes
    4. x viajes
  2. Grafica la relación que hay entre la cantidad de dinero disponible en la tarjeta y el número de viajes.
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  1. ¿Cuántos viajes puede realizar Noah antes de que se acabe el dinero de su tarjeta? ¿Dónde ves este número de viajes en tu gráfica?

9.3 Costumbres de viajes en julio

Esta gráfica muestra la cantidad de dinero que hay en la tarjeta de transporte de Han en cada día del pasado mes de julio.

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  1. Describe lo que ocurrió con la cantidad de dinero que hay en la tarjeta de transporte de Han durante el mes de julio.

  2. Ubica y etiqueta 3 puntos diferentes sobre la recta.

  3. Escribe una ecuación que represente la cantidad de dinero en la tarjeta durante el mes de julio, y , al cabo de x días.

  4. ¿Qué valor tiene sentido para la pendiente de la recta que representa la cantidad de dinero que hay en la tarjeta de transporte de Han durante el mes de julio?

¿Estás listo para más?

Digamos que has pedido un préstamo y lo estás pagando. ¿Cuáles de las siguientes gráficas tienen pendiente positiva y cuáles tienen pendiente negativa?

  1. En el eje vertical está la cantidad de dinero que has pagado y en el eje horizontal está el tiempo que ha pasado desde que empezaste a realizar los pagos.
  2. En el eje vertical está la cantidad de dinero que debes y en el eje horizontal está el tiempo que falta para que termines de pagar el préstamo.
  3. En el eje vertical está la cantidad de dinero que has pagado y en el eje horizontal está el tiempo que falta para que termines de pagar el préstamo.

9.4 Plan de pago

Elena pidió prestado a su hermano algo de dinero. Ella le devuelve el dinero pagándole la misma cantidad cada semana. La gráfica muestra cuánto dinero debe ella al final de cada semana.

Responde y explica tu razonamiento para cada pregunta.

  1. ¿Cuál es la pendiente de la recta?
  2. Explica cómo sabes si la pendiente es positiva o negativa.
  3. ¿Qué representa la pendiente en esta situación?
  4. ¿Cuánto dinero pidió prestado Elena?
  5. ¿Cuánto tiempo tardará Elena en pagar todo el dinero que pidió prestado?

Resumen de la lección 9

Al final del invierno en Maine, la nieve que estaba en el suelo tenía 30 pulgadas de profundidad. Después hubo un día particularmente caliente y la nieve se derritió a una tasa de 1 pulgada por cada hora. La gráfica muestra la relación que hay entre el tiempo que transcurrió desde que la nieve se empezó a derretir y la profundidad de la nieve.

La pendiente de la gráfica es -1 ya que la tasa de cambio es -1 pulgada por hora. Esto quiere decir que, la profundidad disminuye 1 pulgada por cada hora. La intersección con el eje vertical es 30 ya que la nieve tenía una profundidad de 30 pulgadas cuando el calor empezó a derretir la nieve. Los dos triángulos de pendiente muestran que la tasa de cambio es constante. En este caso la pendiente es negativa pues cada hora que pasa hay 1 una pulgada menos de nieve.

Las gráficas que tienen pendiente negativa a menudo describen situaciones en las que alguna cantidad disminuye con el tiempo, como la profundidad de la nieve en los días calurosos o la cantidad de dinero que hay en una tarjeta de transporte.

Las pendientes pueden ser positivas, negativas o ¡incluso cero! Una pendiente de 0 significa que el valor de y no cambia aunque el valor de x cambie. Por ejemplo, Elena ganó un concurso en el que el premio era un pase especial que le da boletos de bus gratuitos durante un año. Su tarjeta de transporte tenía un saldo de $5 cuando ganó el premio. Esta es una gráfica de la cantidad de dinero que hay en su tarjeta de transporte después de que ganó el premio:

La intersección con el eje vertical es 5, porque la gráfica comienza cuando ella tiene $5 en su tarjeta de transporte. La pendiente de la gráfica es 0 ya que ella no usa su tarjeta durante el año siguiente, lo que significa que la cantidad de dinero en su tarjeta no cambia durante un año. De hecho, todas las gráficas de relaciones lineales que tengan pendientes iguales a 0 son horizontales (una tasa de cambio de 0 significa que, desde un punto hasta el siguiente, los valores de y permanecen iguales).

Problemas de práctica de la lección 9

  1. Supongamos que durante su vuelo, la elevación e (en pies) de cierto avión y su tiempo t , en minutos desde que despegó, están relacionados por medio de una ecuación lineal. Considera la gráfica de esta ecuación, en la que el tiempo está representado en el eje horizontal y la elevación en el eje vertical. Para cada situación, decide si la pendiente es positiva, es cero o es negativa.

    1. El avión viaja a una altitud de 37,000 pies sobre el nivel del mar.
    2. El avión está descendiendo a una tasa de 1,000 pies por minuto.
    3. El avión está ascendiendo a una tasa de 2,000 pies por minuto.

  2. Un grupo de excursionistas estaciona su automóvil en un sendero y camina hacia el bosque hasta un campamento. A la mañana siguiente, se dirigen a una caminata desde su campamento y caminan a un ritmo constante. La gráfica muestra su distancia en millas, d , desde el automóvil el día de la caminata después de h horas.

    1. ¿A qué distancia está el campamento de su automóvil? Explica cómo lo sabes.
    2. Escribe una ecuación que describa la relación entre d y h .
    3. ¿Después de cuántas horas estarán los excursionistas a 16 millas de su automóvil? Explica o muestra tu razonamiento.

  3. La tía de Elena le paga $1 por cada llamada que hace para informar a las personas sobre el nuevo negocio de su tía. La tabla muestra cuánto dinero recibe Diego por lavar ventanas para sus vecinos.

    cantidad de ventanas cantidad de dólares
    27 30
    45 50
    81 90

    Seleccione todas las afirmaciones verdaderas sobre la situación.

    1. Elena gana más dinero por hacer 10 llamadas que Diego por lavar 10 ventanas.
    2. Diego gana más dinero por lavar cada ventana que Elena por hacer cada llamada.
    3. Elena hace la misma cantidad de dinero por 20 llamadas que Diego por 18 ventanas.
    4. Diego necesita lavar 35 ventanas para ganar tanto dinero como Elena por 40 llamadas.
    5. La ecuación y=\frac{9}{10}x , donde y es la cantidad de dólares y x es la cantidad de ventanas, representa la situación de Diego.
    6. La ecuación y=x , donde y es la cantidad de dólares y x es la cantidad de llamadas, representa la situación de Elena.

  4. Cada cuadrado en una cuadrícula representa 1 unidad en cada lado. Empareja los números con las pendientes de las rectas.

    1. \text-\frac14
    2. \frac14
    3. 4