Lección 5Introducción a las relaciones lineales
Exploremos algunas relaciones entre dos variables.
Metas de aprendizaje:
- Puedo encontrar la tasa de cambio de una relación lineal encontrando la pendiente de la recta que representa la relación.
5.1 Conversación numérica: división de fracciones
Encuentra el valor de .
5.2 Armemos torres de vasos
Tenemos dos torres de vasos de poliestireno. Una torre tiene 6 vasos y su altura es de 15 cm. La otra tiene 12 vasos y su altura es de 23 cm. ¿Cuántos vasos se necesitan para una torre que tenga una altura de 50 cm?
5.3 Relacionemos la pendiente con la tasa de cambio
- Si no creaste antes tu propia gráfica de la situación, hazlo ahora.
- ¿De qué maneras puedes saber que el número de vasos no es proporcional a la altura de la torre?
- ¿Cuál es la pendiente de la recta en tu gráfica? ¿Qué significa la pendiente en esta situación?
- ¿En qué punto se interseca tu recta con el eje vertical? ¿Qué dicen las coordenadas de este punto sobre los vasos?
- Después del primer vaso, ¿qué altura agrega cada vaso a la torre?
Resumen de la lección 5
Andre comienza a cuidar niños y cobra $10 por el viaje desde y hacia el trabajo, y $15 por cada hora. Por cada hora adicional que trabaja, él cobra otros $15. Si graficamos las ganancias de Andre partiendo de cuánto tiempo trabaja, tenemos una recta que comienza en $10 en el eje vertical y luego aumenta en $15 cada hora. Una relación lineal es cualquier relación entre dos cantidades en la que una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.
Podemos determinar la tasa de cambio usando la gráfica. Debido a que la tasa de cambio es constante, podemos tomar dos puntos en la gráfica y dividir la cantidad de cambio vertical entre la cantidad de cambio horizontal. Por ejemplo, tomemos los puntos y . Estos significan que Andre gana $40 por trabajar 2 horas y $100 por trabajar 6 horas. La tasa de cambio es de dólares por hora. Las ganancias de Andre suben $15 por cada hora en que cuida niños. Observa que esta es la misma forma en que calculamos la pendiente de la recta. Por eso la gráfica es una recta y llamamos a esto una relación lineal. La tasa de cambio de una relación lineal es la misma que la pendiente de su gráfica.
Con las relaciones proporcionales estamos acostumbrados a que las gráficas contengan el punto . Pero las relaciones proporcionales son solo un tipo de relación lineal. En las siguientes lecciones, continuaremos explorando el otro tipo de relación lineal en que las cantidades no son ambas 0 al mismo tiempo.
Términos del glosario
La pendiente de una recta es un número que podemos calcular usando cualesquiera dos puntos de la recta. Para ello, primero consideramos la distancia vertical entre ellos y la distancia horizontal entre ellos; la pendiente se halla al dividir la distancia vertical entre la distancia horizontal.
La pendiente de esta recta es 2 dividido entre 3, es decir .
Que haya una relación lineal entre dos cantidades significa que se relacionan así: siempre que una cantidad cambia en una cierta cantidad, la otra cantidad cambia en otra cantidad fija. En una relación lineal, una cantidad tiene una tasa de cambio constante con respecto a la otra.
La relación se llama lineal pues su gráfica es una línea recta.
Esta gráfica muestra una relación entre el número de días y el número de páginas leídas.
Siempre que el número de días aumenta en 2, el número de páginas leídas aumenta en 60. La tasa de cambio es constante, 30 páginas por día. Por lo tanto, la relación es lineal.
La tasa de cambio en una relación lineal entre y , es la cantidad que cambia cuando aumenta en 1. La tasa de cambio en una relación lineal también es la pendiente de su gráfica.
En esta gráfica, aumenta en 15 dólares cuando aumenta en 1 hora. La tasa de cambio es 15 dólares por hora.
Problemas de práctica de la lección 5
Un restaurante ofrece domicilios para sus pizzas. El costo total es una tarifa de domicilio que se suma al precio de las pizzas. Un cliente paga $25 por 2 pizzas a domicilio. Otro cliente paga $58 por 5 pizzas. ¿Cuántas pizzas se entregan a un cliente que paga $80?
Para pintar una casa, una empresa de pintura cobra una tarifa fija de $500 por materiales, más $50 por cada hora de trabajo.
- ¿Cuánto cobraría la empresa de pintura por pintar una casa que necesita 20 horas de trabajo? ¿Por una casa que necesita 50 horas?
- Dibuja una recta que represente la relación entre , la cantidad de horas que la empresa de pintura necesita para terminar la casa y , el costo total por pintar la casa. Marca los dos puntos de la pregunta anterior en tu gráfica.
- Encuentra la pendiente de la recta. ¿Cuál es el significado de la pendiente en este contexto?
Tyler y Elena están en el equipo de ciclismo de cross country.
Las distancias y los tiempos de Tyler en una carrera de entrenamiento se muestran en la gráfica.
Las distancias y tiempos de Elena en una carrera de entrenamiento están dados por la ecuación , donde representa la distancia en millas y representa el tiempo en minutos.
- ¿Quién corrió más lejos en 10 minutos? ¿Qué tan lejos? Explica cómo lo sabes.
- Calcula el ritmo de cada corredor en minutos por milla.
- ¿Quién corrió más rápido durante la carrera de entrenamiento? Explica o muestra tu razonamiento.
Escribe una ecuación para la recta que pasa por y .