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Lección 12Sistemas de ecuaciones

Aprendamos qué es un sistema de ecuaciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo explicar la solución a un sistema de ecuaciones en un contexto del mundo real.
  • Puedo explicar qué es un sistema de ecuaciones.
  • Puedo hacer gráficas para encontrar un par ordenado que tengan en común dos situaciones del mundo real.

12.1 Malteadas

Diego y Lin están bebiendo malteadas. Lin comienza con una malteada de 12 onzas y bebe \frac14 de onza por segundo. Diego comienza con una malteada de 20 onzas y bebe \frac23 de onza por segundo.

  1. ¿Cuánto tardarán Lin y Diego en terminar sus malteadas?
  2. Sin graficar, explica cómo se verían las gráficas en esta situación. Piensa en la pendiente, en las intersecciones con los ejes, en las etiquetas de los ejes, en las unidades y en los puntos de intersección como ayuda para tu análisis.
  3. Discute tu descripción con tu compañero. Si no están de acuerdo, trabajen para llegar a un acuerdo.

12.2 Un paso por el sendero

Cerca de la ciudad donde Han y Jada viven, hay un sendero que comienza en un estacionamiento y termina en un lago. Han y Jada deciden hacer una caminata por el sendero desde el estacionamiento hasta el lago y luego regresar, pero comienzan sus caminatas en tiempos diferentes.

En el tiempo en que Han llega al lago y comienza su regreso, Jada está a 0.6 millas del estacionamiento y camina hacia el lago a una rapidez constante de 3.2 millas por hora. La distancia de Han al estacionamiento,  d , se puede expresar como d = \text-2.4t+4.8 , donde t representa el tiempo en horas desde que dejó el lago.

  1. ¿Cuál es la ecuación para la distancia de Jada al estacionamiento, en su camino hacia el lago?

  2. Dibuja ambas gráficas: una que represente la ecuación de Han y otra que represente la ecuación de Jada. ¡Es importante ser muy preciso! 

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  1. Encuentra el punto donde las dos gráficas se intersecan. ¿Cuáles son las coordenadas de este punto?

  2. ¿Qué significan las coordenadas en esta situación?

  3. ¿Qué tiene que ser verdadero acerca de la relación entre esas coordenadas y la ecuación de Jada?

  4. ¿Qué tiene que ser verdadero acerca de la relación entre esas coordenadas y la ecuación de Han?

12.3 Torres de vasos

Una torre de  n vasos pequeños tiene una altura, h , en centímetros de  h=1.5n+6 . Otra torre de n  vasos grandes tiene una altura, h , en centímetros de  h=1.5n+9 .

  1. Grafica las ecuaciones para cada torre de vasos en el mismo sistema de ejes. Asegúrate de etiquetar los ejes y decidir una escala adecuada.
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  1. ¿Para qué número de vasos las dos torres tendrán la misma altura? 

Resumen de la lección 12

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 (o más) ecuaciones en el que las variables representan los mismos valores desconocidos. Por ejemplo, supongamos que se siembran dos tipos distintos de bambú al mismo tiempo. La planta A comienza con 6 pies de altura y crece a una tasa constante de \frac14 de pie cada día. La planta B comienza con 3 pies de altura y crece a una tasa constante de  \frac12 pie cada día. Para la planta A, podemos escribir las ecuación  y = \frac14 x + 6 , y para la planta B la ecuación  y = \frac12 x +3 , donde x representa la cantidad de días después de la siembra y y representa la altura. Con base en esto, podemos escribir este sistema de ecuaciones:

\begin{cases} y = \frac14 x + 6 \\ y = \frac12 x +3 \end{cases}

Resolver un sistema de ecuaciones significa encontrar los valores de  x y de  y que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas al mismo tiempo. Una manera de encontrar la solución a un sistema de ecuaciones, que ya hemos visto, es graficar ambas rectas y hallar el punto de intersección. El punto de intersección representa el par de valores de  x y de  y  que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. Esta es una gráfica para el ejemplo del bambú:

La solución a este sistema de ecuaciones es (12,9) , lo que significa que ambas plantas de bambú tendrán 9 pies de altura a los 12 días.

Hemos visto sistemas de ecuaciones que no tienen soluciones, tienen una solución y tienen infinitas soluciones.

  • Cuando las rectas no se intersecan, no hay solución (las rectas que no se intersecan deben ser paralelas).
  • Cuando las rectas se intersecan una vez, hay una solución.
  • Cuando las rectas están una encima de la otra, hay infinitas soluciones.

En lecciones futuras, veremos que algunos sistemas no se pueden resolver con facilidad usando gráficas, pero se pueden resolver fácilmente usando álgebra.

Términos del glosario

sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones. Cada ecuación contiene dos o más variables. Queremos encontrar valores para las variables que hagan que todas las ecuaciones del sistema sean verdaderas.

Estas ecuaciones forman un sistema de ecuaciones:

x + y = \text-2
x - y = 12

La solución de este sistema es  x = 5 y y = \text-7 porque cuando remplazamos las variables x y y por esos valores, ambas ecuaciones son verdaderas:  5 + (\text-7) = \text-2 y  5 - (\text-7) = 12 .

Problemas de práctica de la lección 12

  1. Esta es la gráfica para una ecuación en un sistema de ecuaciones:

    1. Escribe una segunda ecuación para el sistema que tenga infinitas soluciones. 
    2. Escribe una segunda ecuación cuya gráfica pase por  (0,1) y que el sistema no tenga soluciones.
    3. Escribe una segunda ecuación cuya gráfica pase por (0,2) y que el sistema tenga una solución en (4,1) .

  2. Crea una segunda ecuación para que el sistema no tenga soluciones. 

    \begin{cases} y=\frac34x -4 \\ \\ \end{cases}

  3. Andre está a cargo de cocinar brócoli y calabacín para un grupo grande de personas. Él tiene que gastar los $17 que tiene y puede cargar 10 libras de vegetales. El calabacín tiene un costo de $1.50 por libra y el brócoli cuesta $2 por libra. En una gráfica se muestran las combinaciones de calabacín y brócoli que en total pesan 10 libras y en la otra gráfica se muestran las combinaciones de calabacín y brócoli que en total tienen un costo de $17. 

    1. Nombra una combinación de vegetales que pese 10 libras pero que no cueste $17.
    2. Nombra una combinación de vegetales que tenga un costo de $17 pero que no pese 10 libras.
    3. ¿Cuántas libras de calabacín y brócoli puede comprar Andre si gasta todos los $17 y en total pesan 10 libras?

  4. La temperatura en grados Fahrenheit, F , está relacionada con la temperatura en grados Celsius, C , con la fórmula F = \frac{9}{5}C + 32

    1. En el desierto del Sahara, con frecuencia las temperaturas alcanzan los 50 grados Celsius. ¿Cuántos grados Fahrenheit es esto?

    2. En lugares de Alaska, las temperaturas pueden alcanzar los -60 grados Fahrenheit. ¿Cuántos grados Celsius es esto?

    3. Hay una temperatura en la que los grados Fahrenheit y los grados Celsius son iguales, así que C=F . Usa la expresión de la ecuación, en la que F se expresa en términos de C , para encontrar esta temperatura.