Lección 13Resolvamos sistemas de ecuaciones
Resolvamos sistemas de ecuaciones.
Metas de aprendizaje:
- Puedo graficar un sistema de ecuaciones.
- Puedo resolver sistemas de ecuaciones usando álgebra.
13.1 Verdadero o falso: dos rectas
Usa las rectas para decidir si cada afirmación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento con base en las rectas.
- Una solución a es 2.
- Una solución a es 8.
- Una solución a es 8.
- Una solución a es 2.
- No hay valores de y de que hagan que y sean verdaderas al mismo tiempo.
13.2 Asociemos gráficas con sistemas
Estos son tres sistemas de ecuaciones graficados en el plano de coordenadas:
- Asocia cada figura con uno de los siguientes sistemas de ecuaciones.
-
- Encuentra la solución para cada sistema de ecuaciones y comprueba que tu solución es coherente con la gráfica.
- Observa que los controles deslizantes establecen los valores del coeficiente y el término constante en cada ecuación.
- Cambia los controles deslizantes para los valores del coeficiente y el término constante en la siguiente pareja de ecuaciones.
- Haz clic en el punto donde las rectas se intersecan y donde debe aparecer un punto marcado.
13.3 Distintos tipos de sistemas
Su profesor les dará una hoja con 6 sistemas de ecuaciones.
-
Grafiquen cada sistema de ecuaciones escribiendo cada par de ecuaciones en el applet, uno a la vez.
- Describan cómo se ve la gráfica de un sistema de ecuaciones cuando tiene . . .
- 1 solución
- 0 soluciones
- infinitas soluciones
Usen el applet para comprobar sus respuestas a la pregunta 2.
¿Estás listo para más?
Las gráficas de las ecuaciones y se intersecan en el punto . Encuentra y . Muestra o explica tu razonamiento.
Resumen de la lección 13
A veces es más fácil resolver un sistema de ecuaciones sin tener que representar gráficamente las ecuaciones y buscar un punto de intersección. En general, cuando resolvemos un sistema de ecuaciones que se escribe como:
sabemos que estamos buscando una pareja de valores que hacen que ambas ecuaciones sean verdaderas. En particular, sabemos que el valor de será igual para ambas ecuaciones. Esto significa que:
Por ejemplo, considera el siguiente sistema de ecuaciones:
Como el valor de en la solución es el mismo para ambas ecuaciones, entonces sabemos que
Podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de :
Pero esto es solo la mitad de lo que estamos buscando: sabemos el valor de , pero necesitamos el valor de . Como ambas ecuaciones tienen el mismo valor de , podemos usar cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar ese valor:
O
En ambos casos encontramos que . Entonces, la solución al sistema es . Esto lo podemos comprobar al graficar ambas ecuaciones en un plano de coordenadas.
En general, un sistema de ecuaciones lineales puede tener:
- Ninguna solución. En este caso, las rectas que corresponden a cada ecuación nunca se intersecan.
- Exactamente una solución. Las rectas que corresponden a cada ecuación se intersecan exactamente en un punto.
- Un número infinito de soluciones. ¡Las gráficas de las dos ecuaciones son la misma recta!
Problemas de práctica de la lección 13
-
Escribe ecuaciones para las rectas que se muestran a continuación:
-
Describe cómo encontrar la solución al sistema correspondiente observando la gráfica.
-
Describe cómo encontrar la solución al sistema correspondiente usando ecuaciones.
-
La solución a un sistema de ecuaciones es: . Elige dos ecuaciones que podrían conformar el sistema.
-
Resuelve el sistema de ecuaciones:
Resuelve el sistema de ecuaciones:
Esta es una ecuación:
- Resuelve la ecuación usando primero la propiedad distributiva.
- Resuelve la ecuación sin usar la propiedad distributiva.
- Comprueba tu solución.