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Lección 9¿Cuándo son iguales?

Usemos ecuaciones para pensar en situaciones.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar una expresión para encontrar cuándo dos dimensiones, como la altura, son iguales en una situación de la vida real.

9.1 ¿Cuál escogerían?

Si cuidaras niños, preferirías:

  • ¿Cobrar $5 por la primera hora y $8 por cada hora adicional?

o

  • ¿Cobrar $15 por la primera hora y $6 por cada hora adicional?
Explica tu razonamiento.

9.2 Tanques de agua

En esta tabla se muestra la cantidad de agua de dos tanques.

tiempo (minutos) tanque 1 (litros) tanque 2 (litros)
0 25 1000
5 175 900
10 325 800
15 475 700
20 625 600
25 775 500
30 925 400
35 1075 300
40 1225 200
45 1375 100
50 1525 0
  1. Describe lo que ocurre en cada tanque. Haz un dibujo, explica verbalmente o escribe algunas frases. 
  2. Usa la tabla para estimar cuándo los tanques tendrán la misma cantidad de agua. 
  1. La cantidad de agua (en litros) en el tanque 1 después de t minutos es 30t + 25 . La cantidad de agua (en litros) en el tanque 2 después de  t minutos es \text-20t + 1000 . Encuentra el tiempo en el que las cantidades de agua serán iguales.

9.3 Elevadores

Un edificio tiene dos elevadores que se desplazan encima y debajo del primer piso.

A cierta hora del día, el tiempo que tarda el elevador A en desplazarse para alcanzar la altura h en metros es 0.8 h + 16 segundos.

El tiempo que tarda el elevador B en alcanzar la altura  h en metros es \text-0.8 h + 12 segundos.

  1. ¿Cuál es la altura de cada elevador en este momento? 
  2. ¿Cuánto tiempo tardaría cada elevador en alcanzar el primer piso en este momento? 
  3. Si los dos elevadores se desplazan uno hacia el otro, ¿a qué altura se cruzan?, ¿cuánto tiempo tardan en cruzarse?
  4. Si estás en un nivel de estacionamiento subterráneo, 14 metros abajo del primer piso, ¿qué elevador llegaría primero a donde estás?

¿Estás listo para más?

  1. En un número de dos dígitos, el dígito de las unidades es el doble del dígito de las decenas. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 36 más que el número original. Encuentra el número. 
  2. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 11. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 45 menos que el número original. Encuentra el número. 
  3. La suma de los dígitos en un número de dos dígitos es 8. El valor del número es 4 menos que 5 veces el dígito de las unidades. Encuentra el número.

Resumen de la lección 9

Imagina un tanque lleno, con capacidad de 1,500 litros, que tiene una fuga que lo hace perder 2 litros por minuto. Podemos representar el número de litros que quedan en el tanque con la expresión  \text-2x+1,\!500 , en la cual x representa el número de minutos que el tanque ha estado perdiendo agua.  

Ahora imagina que al mismo tiempo, un segundo tanque tiene 300 litros y se llena a una tasa de 6 litros por minuto. Podemos representar la cantidad de agua en litros en el segundo tanque con la expresión  6x+300 , en la cual x representa el número de minutos que han pasado. 

Debido a que un tanque está perdiendo agua y el otro está acumulando agua, en algún momento tendrán la misma cantidad de agua, pero ¿cuándo? Preguntar cuándo los dos tanques tienen la misma cantidad de litros, es lo mismo que preguntar cuándo \text-2x+1,\!500 (la cantidad de litros en el primer tanque después de x minutos) es igual a 6x+300 (la cantidad de litros en el segundo tanque después de x minutos).

\text-2x+1,\!500=6x+300.

Al resolver la ecuación, obtenemos  x=150 minutos. Entonces, después de 150 minutos, la cantidad de litros del primer tanque es igual a la cantidad de litros del segundo tanque. Pero, ¿cuánta agua hay realmente en cada tanque en ese momento? Dado que ambos tanques tienen la misma cantidad de litros después de 150 minutos, podemos reemplazar x=150 minutos en cualquiera de las expresiones. 

Al usar la expresión para el primer tanque, obtenemos \text-2(150)+1,\!500 , lo cual es igual a  \text-300+1,\!500 , o 1,200 litros.

Si usamos la expresión para el segundo tanque, obtenemos 6(150)+300  o 900+300 , que también es 1,200 litros. Eso significa que después de 150 minutos, cada tanque tiene 1,200 litros.

Problemas de práctica de la lección 9

  1. El plan A de celular cuesta $70 por cada mes e incluye un teléfono gratis de $500. El plan B de celular cuesta $50 por cada mes, pero no incluye un teléfono. Si compras el teléfono de $500 y escoges el plan B, ¿en cuántos meses tu costo iguala el costo del plan A?

  2. Priya y Han van en bicicleta en la misma dirección en el mismo camino.

    1. Han va a una rapidez constante de 16 millas por cada hora. Escribe una expresión que muestre cuántas millas ha recorrido Han después de t horas.

    2. Priya comenzó su recorrido media hora antes que Han. Si Han ha estado avanzando por t horas, ¿por cuánto tiempo ha estado avanzando Priya?

    3. Priya va a una rapidez constante de 12 millas por cada hora. Escribe una expresión que muestre cuántas millas ha recorrido Priya después de que Han ha avanzado por t horas.

    4. Usa tu expresión para encontrar el momento en el que se encuentran Han y Priya.

  3. ¿Cuál historia coincide con la ecuación \text-6+3x=2+4x ?

    1. A las 5 p.m., las temperaturas registradas en dos estaciones meteorológicas en la Antártida son -6 grados y 2 grados. La temperatura cambia a la misma tasa constante, x grados por cada hora, durante toda la noche en ambos lugares. 3 horas después de este registro, la temperatura en la primera estación es la misma que la temperatura en la segunda estación 4 horas después de este registro.

    2. Elena y Kiran juegan un juego de cartas. Cada vez que ellos reúnen un par de cartas que coinciden, ganan x puntos. En un momento del juego, Kiran tiene -6 puntos y Elena tiene 2 puntos. Después de que Elena reúne 3 pares y Kiran reúne 4 pares, ellos tienen el mismo número de puntos.

  4. ¿Para qué valor de  x las expresiones  \frac23x+2 y  \frac43x-6 son iguales?

  5. Decide si cada ecuación es verdadera para todos los valores de x , solo uno o ninguno.

    1. 2x+8=\text-3.5x+19
    2. 9(x-2)=7x+5
    3. 3(3x+2)-2x=7x+6

  6. Resuelve cada ecuación. Explica tu razonamiento.

    1. 3d+16 = \text-2(5-3d)
    2. 2k-3(4-k)=3k+4
    3. \frac{3y-6}{9}=\frac{4-2y}{\text-3}

  7. Describe una transformación rígida que lleve el polígono A al polígono B.