Lección 8¿Cuántas soluciones?
Resolvamos ecuaciones con diferentes números de soluciones.
Metas de aprendizaje:
- Puedo resolver ecuaciones con diferente número de soluciones.
8.1 Emparejar soluciones
Considera la ecuación incompleta . Empareja las siguientes expresiones con el número de soluciones que tendría la ecuación si tuviera esa expresión en el lado derecho.
- ¿Una solución?
- ¿Ninguna solución?
- ¿Todos los valores son solución?
8.2 Pensemos un poco más en soluciones
Su profesor les entregará unas tarjetas.
- Resuelvan juntos cada ecuación.
- Luego, clasifíquenlas en categorías.
- Describan las características que definen esas categorías y prepárense para compartir su razonamiento con la clase.
8.3 Usemos estructuras
Para cada ecuación, determina si no tiene solución, si tiene una solución o si tiene infinitas soluciones (es decir, cualquier valor de la hace verdadera). Si una ecuación tiene una solución, resuélvela para encontrar el valor de que la haga verdadera.
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- ¿Qué observas de las ecuaciones con una solución? ¿En qué se diferencian de las ecuaciones que no tienen solución y de las son verdaderas para cualquier valor de ?
¿Estás listo para más?
Los números consecutivos son números enteros que siguen uno al otro sin saltos. Un ejemplo de tres números consecutivos es 17, 18 y 19. Otro ejemplo es -100, -99, -98.
- Selecciona cualquier grupo de tres números consecutivos. Encuentra su promedio. ¿Qué observas?
- Encuentra el promedio de otro grupo de tres números consecutivos. ¿Qué observas?
- Explica por qué lo que observaste debe funcionar siempre, o encuentra un contraejemplo.
Resumen de la lección 8
A veces es posible mirar la estructura de una ecuación y decir si tiene infinitas soluciones o ninguna solución. Por ejemplo, observa:
Al usar la propiedad distributiva al lado izquierdo y al lado derecho, obtenemos:
A partir de aquí, al agrupar términos semejantes, obtenemos:
Sin hacer ninguna movida, sabemos que esta ecuación es verdadera para cualquier valor de , pues el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación son iguales.
Igualmente, a veces podemos usar la estructura de una ecuación para saber si no tiene soluciones. Por ejemplo, considera
Si pensamos en cada movida a medida que avanzamos, podemos detenernos cuando nos damos cuenta de que no hay solución:
La última movida deja en claro que los términos constantes a cada lado, 5 y , no son los mismos. Sabemos que no hay solución porque sumar 5 a una cantidad es siempre menor que sumar a esa misma cantidad.
Para resolver ecuaciones es necesario saber hacer movidas que mantengan una ecuación balanceada. También es importante comprender lo que la estructura de una ecuación nos dice sobre sus soluciones.
Términos del glosario
En la expresión hay dos términos: y 2. El número 2 se llama el término constante pues no cambia cuando cambia.
En la expresión , 9 es el término constante.
En la expresión , -8 es el término constante.
En la expresión , 12 es el término constante.
Problemas de práctica de la lección 8
Lin estudiaba la ecuación . Ella dijo, "Puedo saber de inmediato que no hay soluciones, porque en el lado izquierdo, tenemos y muchas constantes, pero solo tenemos en el lado derecho". ¿Estás de acuerdo con Lin? Explica tu razonamiento.
Han estudiaba la ecuación . Él dijo, "Puedo saber de inmediato que no hay soluciones, porque en el lado izquierdo, tenemos y muchas constantes, pero tenemos solo en el lado derecho". ¿Estás de acuerdo con Han? Explica tu razonamiento.
Decide si cada ecuación es verdadera para todos los valores de , un valor de o ninguno.
Resuelve cada una de estas ecuaciones. Explica o muestra tu razonamiento.
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Los puntos y están ambos sobre la gráfica de una ecuación lineal. ¿ también está sobre la gráfica de esta ecuación lineal? Explica tu razonamiento.
En la imagen el triángulo es una imagen del triángulo después de una rotación. El centro de rotación es .
- ¿Cuál es la longitud del lado ? Explica cómo lo sabes.
- ¿Cuál es la medida del ángulo ? Explica cómo lo sabes.