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Lección 18Cambiar la escala de dos dimensiones

Cambiemos más dimensiones de figuras. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo crear una gráfica que represente la relación entre el volumen y el radio para todos los cilindros (o conos) con una altura fija.
  • Puedo explicar en mis propias palabras por qué al cambiar el radio por un factor de escala se cambia el volumen por el factor de escala al cuadrado.

18.1 Triplicar enunciados

m , n , a , b  y  c representan enteros positivos. Considera estas dos ecuaciones:  m=a+b+c n=abc

  1. ¿Cuáles de estos enunciados son verdaderos? Selecciona todos los que apliquen: 
    1. Si se triplica a , entonces m se triplica. 
    2. Si se triplican a , b , y  c , entonces m se triplica.
    3. Si se triplica a , entonces n se triplica. 
    4. Si se triplican a , b  y  c , entonces  n se triplica. 
  2. Crea un enunciado verdadero sobre una de las ecuaciones. 

18.2 Una base cuadrada

Clare dibuja un prisma rectangular con una altura de 11 y una base cuadrada, y etiqueta con s las aristas de la base. Ella le pregunta a Han lo que pasará con el volumen del prisma rectangular si triplica s .

Han dice que el volumen será 9 veces mayor. ¿Tiene razón? Explica o muestra tu razonamiento. 

¿Estás listo para más?

Se puede construir un cilindro enrollando un pedazo de papel y pegando las dos aristas opuestas (las aristas punteadas en la figura).

  1. Si quisieras aumentar el volumen dentro del cilindro resultante, ¿tendría más sentido duplicar  x , y o eso no hace diferencia?
  2. Si quisieras aumentar el área de superficie del cilindro resultante, ¿tendría más sentido duplicar  x , y , o eso no hace diferencia? 
  3. ¿Cómo cambiarían tus respuestas a estas preguntas si pegáramos las líneas continuas en vez de las punteadas para hacer el cilindro? 

18.3 Juguemos con conos

Digamos que r representa el radio y  V representa el volumen de estos conos. 

  1. Escribe una ecuación que exprese la relación entre V y r . Usa 3.14 como una aproximación para  \pi .
  2. Predice lo que pasa con el volumen si triplicas el valor de r .

  3. Grafica esta ecuación. 

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  4. ¿Qué pasa con el volumen si triplicas r ? ¿En qué parte de la gráfica observas esto? ¿Cómo puedes observar esto algebraicamente?

Resumen de la lección 18

Hay muchos prismas rectangulares que tienen un largo de 4 unidades y un ancho de 5 unidades, pero diferentes alturas. Si h representa la altura, entonces el volumen  V de esos prismas es:

V=20h

La ecuación nos muestra que el volumen de un prisma, con 20 unidades cuadradas de área de la base, es una función lineal de la altura. Dado que esta es una relación proporcional, si la altura se multiplica por un factor de a , entonces el volumen también se multiplica por un factor de  a :

V = 20(ah)

¿Qué pasa si cambiamos la escala de dos dimensiones de un prisma por un factor de a ? En este caso, el volumen se multiplica dos veces por un factor de a , es decir, por a^2 .

Por ejemplo, pensemos en un prisma con un largo de 4 unidades, un ancho de 5 unidades y una altura de 6 unidades. Su volumen es 120 unidades cúbicas porque  4 \boldcdot 5 \boldcdot 6=120 . Ahora, imaginemos que se cambian las escalas del largo y del ancho por un factor de a , esto significa que el nuevo prisma tiene un largo de 4a , un ancho de 5a  y una altura de 6. El nuevo volumen es  120a^2 unidades cúbicas porque  4a\boldcdot 5a \boldcdot 6=120a^2 .

Una relación similar sucede con los cilindros. Pensemos en un cilindro con una altura de 6 y un radio de 5. El volumen sería  150\pi unidades cúbicas porque \pi \boldcdot 5^2 \boldcdot 6 = 150 \pi . Ahora, imaginemos que se cambia la escala del radio por un factor de  a . Entonces, el nuevo volumen es  \pi \boldcdot (5a)^2 \boldcdot 6 = \pi \boldcdot 25a^2 \boldcdot 6 o  150a^2 \pi unidades cúbicas. ¡Entonces, cambiar la escala del radio por un factor de  a tiene el efecto de multiplicar el volumen por  a^2 !

¿Por qué se multiplica el volumen por a^2 si solo se cambia el radio? Esto tiene sentido si imaginamos cómo al cambiar la escala del radio se cambia el área de la base del cilindro. Mientras el radio aumenta, el área de la base aumenta en dos dimensiones (el círculo se hace más ancho y también más largo), mientras que la tercera dimensión del cilindro (la altura) se mantiene igual.  

Problemas de práctica de la lección 18

  1. Hay muchos cilindros con una altura de 18 metros. r representa el radio en metros y V representa el volumen en metros cúbicos.

    1. Escribe una ecuación que represente el volumen V como una función del radio r .

    2. Completa esta tabla con tres posibles ejemplos.

        r      V   
      1

    3. Si se duplica el radio de un cilindro, ¿se duplica el volumen? Explica cómo lo sabes.

    4. ¿La gráfica de esta función es una recta? Explica cómo lo sabes.

  2. Como parte de una competencia, Diego debe girar 6 veces en círculo y luego debe correr hacia un árbol. El tiempo que él tarda en cada giro es representado por s y el tiempo que tarda corriendo es r . Él llega al árbol 21 segundos después de que inicia a girar.

    1. Escribe una ecuación que muestre la relación entre s y r .
    2. Reorganiza la ecuación para que muestre a r como una función de s .
    3. Si Diego tarda 1.2 segundos en cada giro, ¿cuántos segundos le tomó correr?

  3. La tabla y la gráfica representan dos funciones. Usa la tabla y la gráfica para responder las preguntas.

    x 1 2 3 4 5 6
    y 3 -1 0 4 5 -1
    1. ¿Para cuáles valores de x la salida de la tabla es menor que la salida de la gráfica?
    2. En la función representada en la gráfica, ¿cuáles valores de x dan una salida de 0?

  4. Un cono tiene un radio de 3 unidades y una altura de 4 unidades.

    1. ¿Cuál es el volumen de este cono?

    2. Se ha cuadruplicado el radio de otro cono, y su altura es la misma. ¿Cuántas veces mayor es el nuevo volumen del cono?