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Lección 19Estimemos el volumen de un hemisferio

Estimemos el volumen de los hemisferios con figuras que conocemos. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo estimar el volumen de un hemisferio calculando el volumen de una figura que sé que es mayor y el volumen de una figura que sé que es menor.

19.1 Observa y pregúntate: dos figuras

Estas son dos figuras. 

¿Qué observas? ¿Qué te preguntas? 

19.2 Hemisferios en cajas

A hemisphere inside a rectangular prism. The hemisphere touches the each of the bottom 4 edges of the rectangular prism. A horizontal line is drawn from one edge of the hemisphere to the center of the hemisphere and is labeled r. A vertical line is drawn from the center of the hemisphere to a point center directly above the hemisphere and is labeled r.
  1. Mai tiene un pisapapeles con forma de domo que puede usar como una lupa. El pisapapeles tiene la forma de un hemisferio hecho de cristal sólido, así que ella quiere diseñar una caja para guardarlo y que no se rompa. Su pisapapeles tiene un radio de 3 cm.
    1. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja más pequeña posible que contenga el hemisferio? 
    2. ¿Cuál es el volumen de la caja?
    3. ¿Cuál es una estimación razonable del volumen del pisapapeles?
  2. Tyler tiene una caja diferente cuyas longitudes de los lados son el doble de largas que los lados de la caja de Mai. La caja de Tyler es lo suficientemente grande para contener justo un pisapapeles de cristal diferente. 
    1. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?
    2. ¿Cuál es una estimación razonable para el volumen de este pisapapeles de cristal? 
    3. ¿Cuántas veces tan grande como el volumen del pisapapeles de Mai crees que es el volumen del pisapapeles en la caja de Tyler? Explica tu razonamiento. 

19.3 Estimemos hemisferios

  1. Un hemisferio de 5 unidades de radio cabe exactamente dentro de un cilindro de igual radio y altura.
    1. Calcula el volumen del cilindro. 
    2. Estima el volumen del hemisferio. Explica tu razonamiento. 
  2. Un cono cabe exactamente dentro de un hemisferio y comparten un radio de 5. 
    1. ¿Cuál es el volumen del cono?
    2. Estima el volumen del hemisferio. Explica tu razonamiento. 
  3. Compara tu estimación para el hemisferio que contiene el cono con tu estimación para el hemisferio que está dentro del cilindro. ¿Cómo se relaciona el volumen del hemisferio con el volumen del cilindro y del cono?

¿Estás listo para más?

Estima qué fracción del volumen del cubo ocupa la pirámide que comparte la base y un vértice superior con el cubo, como se muestra en la figura.

Resumen de la lección 19

Podemos estimar el volumen de un hemisferio comparándolo con otras figuras cuyo volumen conocemos. Por ejemplo, un hemisferio de radio 1 unidad cabe dentro de un cilindro de radio de 1 unidad y altura de 1 unidad.

Ya que el hemisferio está dentro del cilindro, debe tener un volumen más pequeño que el cilindro, lo que hace que el volumen del cilindro sea una sobreestimación razonable del volumen del hemisferio.  

El volumen de este cilindro en particular es aproximadamente 3.14 unidades3, porque  \pi(1)^2(1)=\pi , así que sabemos que el volumen del hemisferio es menor que 3.14 unidades cúbicas. 

Usando una lógica similar, un cono de 1 unidad de radio y 1 unidad de altura cabe dentro del hemisferio de 1 unidad de radio. 

Ya que el cono está dentro del hemisferio, el cono debe tener un volumen más pequeño que el hemisferio, lo que hace que el volumen del cono sea una subestimación razonable del volumen del hemisferio.  

El volumen de este cono en particular es aproximadamente 1.05 unidades3, porque  \frac13 \pi(1)^2(1)=\frac13 \pi \approx 1.05 , así que sabemos que el volumen del hemisferio es mayor que 1.05 unidades cúbicas.

Al promediar el volumen del cilindro y el del cono, podemos estimar que el volumen del hemisferio es aproximadamente 2.10 unidades3, porque  \frac {3.14+1.05}2 \approx 2.10 . Y, dado que un hemisferio es la mitad de una esfera, también podemos estimar que una esfera de radio 1 tendría el doble de este volumen, es decir, aproximadamente 4.20 unidades3.

Problemas de práctica de la lección 19

  1. Una pelota de béisbol cabe exactamente dentro de un cubo transparente. La longitud de lado del cubo es 2.9 pulgadas.

    ¿El volumen de la pelota de béisbol es mayor que, menor que o igual a 2.9^3 pulgadas cúbicas? Explica cómo lo sabes.

  2. Hay muchos conos posibles con una altura de 18 metros. r representa el radio en metros y V representa el volumen en metros cúbicos.

    1. Escribe una ecuación que represente el volumen V como una función del radio r .

    2. Completa esta tabla de la función con tres posibles ejemplos.

        r      V   
      2

    3. Si duplicas el radio de un cono, ¿se duplica el volumen? Explica cómo lo sabes.

    4. ¿La gráfica de esta función es una recta? Explica cómo lo sabes.

  3. Un hemisferio cabe exactamente dentro de un cilindro de 6 cm de radio. Un cono cabe exactamente dentro del mismo hemisferio.

    1. ¿Cuál es el volumen del cilindro?
    2. ¿Cuál es el volumen del cono?
    3. Estima el volumen del hemisferio, calculando el promedio del volumen del cilindro y del cono.

    1. Encuentra el diámetro del hemisferio si su radio es 6 cm.

    2. Encuentra el diámetro del hemisferio si su radio es \frac{1000}{3} m.

    3. Encuentra el diámetro del hemisferio si su radio es 9.008 ft.

    4. Encuentra el radio del hemisferio si su diámetro es 6 cm.

    5. Encuentra el radio del hemisferio si su diámetro es \frac{1000}{3} m.

    6. Encuentra el radio del hemisferio si su diámetro es 9.008 ft.

  5. Después de que casi se queda sin espacio en su teléfono, Elena revisa con un par de amigos que tienen el mismo tipo de teléfono para ver cuántas imágenes tienen en sus teléfonos y cuánta memoria ocupan. Los resultados se muestran en la tabla.

    número de fotos 2,523 3,148 1,875
    memoria usada en MB 8,072 10,106 6,037
    1. ¿Se podría modelar esta información razonablemente con una función lineal? Explica tu razonamiento.
    2. Elena necesita borrar fotos para crear 1,200 MB de espacio. Estima el número de fotos que debe borrar.