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Lección 8Funciones lineales

Investiguemos funciones lineales.

Metas de aprendizaje:

  • Puedo determinar si una función es creciente o decreciente basándome en si su tasa de cambio es positiva o negativa.
  • Puedo explicar en mis propias palabras cómo la gráfica de una función lineal se relaciona con su tasa de cambio y su valor inicial.

8.1 Mayor y menor

Diego dijo que estas gráficas están ordenadas de menor a mayor. Mai dijo que están ordenadas de mayor a menor. ¡Pero estas son gráficas, no números! ¿Qué crees que Diego y Mai estaban pensando?

Three graphs of a line in the coordinate plane. On the first graph, the line begins in Quadrant 2, high above the horizontal axis. It moves downward and to the right, crosses the vertical axis, continues moving downward, crosses the horizontal axis, ending in Quadrant 4, far below the horizontal axis. On the second graph, the line begins in Quadrant 2, above the horizontal axis. It moves horizontally and to the right, passes through the y-axis, and continues into Quadrant One. One the third graph, the line begins in Quadrant 3, far below the horizontal axis. It moves upward and to the right, crosses the vertical axis, continues moving upward, crosses the horizontal axis, ending in Quadrant 1, high above the horizontal axis.

8.2 Relaciones proporcionales definen funciones lineales

  1. Jada gana $7 por cada hora cortando el césped de su vecino.
    1. Nombra dos cantidades en esta situación que estén en una relación funcional. ¿Cuál escogiste como la variable independiente? ¿Cuál es la variable que depende de ella?
    2. Escribe una ecuación que represente la función.
    3. Esta es una gráfica de la función. Etiqueta los ejes. Etiqueta al menos dos puntos de parejas de entrada y salida.
      The graph of a line in coordinate plane. The horizontal and vertical axes are not labeled. The line begins at the origin, and moves steadily upward and to the right.
  2. Para convertir pies a yardas, se multiplica el número de pies por \frac13 .
    1. Nombra las dos cantidades que están en una relación funcional en esta situación. ¿Cuál escogiste como la variable independiente? ¿Cuál es la variable que depende de esta?
    2. Escribe una ecuación que represente la función.
    3. Dibuja la gráfica de la función. Etiqueta por lo menos dos puntos con parejas de entrada y salida.
      A blank coordinate plane.

8.3 ¿Se está llenando o vaciando?

Hay cuatro tanques de agua. La cantidad de agua en galones, A , que hay en el tanque A está dada por la función A = 200 + 8t , donde t está en minutos. La cantidad de agua en galones, B , que hay en el tanque B comienza en 400 galones y disminuye 5 galones cada minuto. Estas funciones sirven cuando  t \geq 0 y t \leq 80 .

  1. ¿Cuál tanque comenzó con más agua?
  2. Escribe una ecuación que represente la relación entre B y t .
  3. Un tanque se está llenando. El otro se está vaciando. ¿Cuál es cuál? ¿Cómo lo sabes?
  4. La cantidad de agua en galones, C , que hay en el tanque C está dada por la función C = 800 - 7t . ¿Se está llenando o desocupando? ¿Puedes saberlo simplemente examinando la ecuación?
  5. La gráfica muestra la cantidad de agua en galones, D , que hay en el tanque D en un tiempo  t . ¿Se está llenando o desocupando? ¿Cómo lo sabes?
    A graph of a line in the t D coordinate plane. The line begins on the vertical D axis and high above the origin. It moves steadily downward and to the right, ending on the horizontal t axis.

¿Estás listo para más?

  • Selecciona un tanque que se estuviera vaciando. ¿Cuánto tiempo tardó el tanque en vaciarse? ¿Qué porcentaje del tanque estaba lleno cuando había transcurrido 30% del tiempo? ¿Cuándo había transcurrido 70% del tiempo?
  • ¿Qué punto en el plano está a 30% del camino de (0,15) a (5,0) ?, ¿a 70% del camino?
  • ¿Qué punto en el plano está a 30% del camino de (3,5) a (8,6) ?, ¿a 70% del camino?

8.4 ¿Cuál crece más rápido?

Noah deposita dinero en su cuenta bancaria cada semana para ahorrarlo. La gráfica muestra la cantidad que ha ahorrado como una función del tiempo desde que abrió su cuenta.

Elena abrió una cuenta bancaria el mismo día que Noah. La cantidad de dinero  E en su cuenta está dada por la función E=8w+60 , donde w es el número de semanas desde que se abrió la cuenta.

A graph titled "Noah's account" has eight points plotted in the coordinate plane with the origin labeled “O”. The horizontal axis is labeled “weeks since opening account” and the numbers 0 through 12, in increments of 2, are indicated. The vertical axis is labeled “amount in the account” and the numbers 0 through 140, in increments of 20, are indicated. The points have the following coordinates: 0 comma 60; 2 comma 70; 4 comma 80; 6 comma 90; 8 comma 100; 10 comma 110; 12 comma 120; and 14 comma 130.
  1. ¿Quién comenzó con más dinero en su cuenta? Explica cómo lo sabes.
  2. ¿Quién ahorra dinero a una tasa más rápida? Explica cómo lo sabes.
  3. ¿Cuánto ahorrará Noah durante un año si no realiza retiros? ¿Cuánto le tomará a Elena ahorrar esa cantidad?

Resumen de la lección 8

Supongamos que un automóvil viaja a 30 millas por hora. La relación entre el tiempo en horas y la distancia en millas es una relación proporcional. Podemos representar esta relación con la ecuación d = 30t , en la que la distancia es una función del tiempo (ya que cada entrada de tiempo está asociada a una única salida de distancia). O se podría, en cambio, escribir la ecuación  t = \frac{1}{30} d , donde el tiempo es una función de la distancia (ya que cada entrada de distancia está asociada a una única salida de tiempo).

De manera más general, si representamos una función lineal con una ecuación como y = mx + b , entonces b es el valor inicial (que es 0 para las relaciones proporcionales) y m es la tasa de cambio de la función. Si m es positivo, la función es creciente. Si m es negativo, la función es decreciente. Si representamos una función lineal en una manera distinta, como con una gráfica, podemos usar lo que sabemos sobre gráficas de rectas para encontrar los valores m y b y, si se necesita, escribir una ecuación.

Problemas de práctica de la lección 8

  1. Dos automóviles viajan en la misma autopista y en la misma dirección. La gráfica muestra la distancia,  d , de cada uno como una función del tiempo, t . ¿Cuál automóvil viaja más rápido? Explica cómo lo sabes.

  2. Dos servicios de automóviles ofrecen recogerte y llevarte a tu destino. El servicio A cobra 40 centavos por recogerte y 30 centavos por cada milla del viaje. El servicio B cobra $1.10 por recogerte y c centavos por cada milla del viaje.

    1. Empareja los servicios con las rectas \ell y m .
    2. En el servicio B, ¿el cobro adicional por milla es mayor o menor que 30 centavos por cada milla del viaje? Explica tu razonamiento.

  3. A Kiran y Clare les gusta hacer carreras a casa desde la escuela. Ellos corren a la misma rapidez, pero la casa de Kiran está un poco más cerca de la escuela que la casa de Clare. En una gráfica, la distancia a sus casas (en metros) es una función del tiempo desde que comienzan la carrera (en segundos). 

    1. Mientras lees las gráficas de izquierda a derecha, ¿las rectas van hacia arriba o hacia abajo?
    2. ¿En qué se diferencian las rectas que representan el recorrido de Kiran y el de Clare?
    3. ¿En qué se parecen las rectas que representan el recorrido de Kiran y el de Clare?

  4. Escribe una ecuación para cada recta.