Open Up Resources Logo

Lección 6¿Qué sucede con otras bases?

Exploremos patrones de exponentes con bases distintas de 10. 

Metas de aprendizaje:

  • Puedo usar reglas de exponentes para bases distintas de 10.

6.1 Verdadero o falso: comparemos expresiones con exponentes

¿Cada afirmación es verdadera o falsa? Prepárate para explicar tu razonamiento.

  1. 3^5 < 4^6

  2. \left(\text- 3\right)^2 < 3^2

  3. \left(\text- 3\right)^3 = 3^3

  4. \left( \text- 5 \right) ^2 > \text- 5^2

6.2 ¿Qué sucede con un exponente negativo o igual a cero?

Completa la tabla para mostrar lo que significa tener un exponente igual a cero o un exponente negativo. 

An incomplete 10 column table with 2 rows of data. The first column contains a label for each row header. The data in the table are as follows. Row 1: value, 16; blank; blank; blank; blank; one half; blank; blank; blank. Row 2: exponent form, 2 to the fourth power; blank; blank; blank; blank; blank; blank; blank; blank. Above the table are arrows pointing from the 10th column to the 9th, the 9th column to the 8th, and so on. These arrows are labeled "mulitply by 2". Below the table are arrows pointing from the 2nd column to the 3rd, the 3rd column to the 4th, and so on. These arrows are labeled "multiply by question mark".
  1. A medida que te mueves hacia la izquierda, cada número se multiplica por 2. ¿Cuál es el multiplicador cuando te mueves hacia la derecha?
  2. Usa los patrones que encontraste en la tabla para escribir  2^{\text -6} como una fracción.
  3. Escribe \frac{1}{32} como una potencia de 2 usando un solo exponente. 
  4. ¿Cuál es el valor de  2^0 ?
  5. A partir del trabajo que haz hecho con exponente negativos, ¿cómo escribirías  5^{\text -3} como una fracción?
  6. ¿Cómo escribirías  3^{\text -4} como una fracción?

¿Estás listo para más?

  1. Encuentra una expresión equivalente a \left(\frac{2}{3}\right)^{\text-3} , pero usando exponentes positivos.

  2. Encuentra una expresión equivalente a  \left(\frac{4}{5}\right)^{\text-8} , pero usando exponentes positivos.

  3. ¿Qué patrones observas cuando comienzas con una fracción elevada a un exponente negativo y lo vuelves a escribir usando solo potencias positivas? Muestra o explica tu razonamiento.

6.3 Reglas de exponentes con bases distintas de 10

Lin, Noah, Diego y Elena deciden poner a prueba sus conocimientos sobre exponentes con bases distintas de 10. Para comenzar, cada uno eligió una expresión y luego pensó en una nueva lista de expresiones; algunas son equivalentes a la expresión inicial y otras no.

Seleccionen 2 listas para analizar. Para cada lista de expresiones que eligieron, decidan qué expresiones no son equivalentes a la inicial. Prepárense para explicar su razonamiento.

  1. La expresión inicial de Lin es 5^{\text-9} y su lista es:
    • (5^3)^{\text-3}
    • \text-5^9
    • \frac{5^{\text-6}}{5^3}
    • (5^3)^{\text-2}
    • \frac{5^{\text-4}}{5^{\text-5}}
    • 5^{\text-4} \boldcdot 5^{\text-5}
  2. La expresión inicial de Noah es  3^{10} y su lista es:
    • 3^5 \boldcdot 3^2
    • (3^5)^2
    • (3 \boldcdot 3)( 3 \boldcdot 3)( 3 \boldcdot 3)( 3 \boldcdot 3)( 3 \boldcdot 3)
    • \left(\frac{1}{3}\right)^{\text-10}
    • 3^7 \boldcdot 3^3
    • \frac{3^{20}}{3^{10}}
    • \frac{3^{20}}{3^2}
  3. La expresión inicial de Diego es  x^4 y su lista es:
    • \frac{x^8}{x^4}
    • x \boldcdot x \boldcdot x \boldcdot x
    • \frac{x^{\text-4}}{x^{\text-8}}
    • \frac{x^{\text-4}}{x^8}
    • (x^2)^2
    • 4 \boldcdot x
    • x \boldcdot x^3
  4. La expresión inicial de Elena es  8^0 y su lista es:
    • 1
    • 0
    • 8^3 \boldcdot 8^{\text-3}
    • \frac{8^2}{8^2}
    • 10^0
    • 11^0

Resumen de la lección 6

Anteriormente, nos enfocamos en potencias de 10, ya que 10 juega un papel importante en el sistema numérico decimal. Las reglas de exponentes que desarrollamos para 10 también funcionan para otras bases. Por ejemplo, si  2^0=1 y  2^{\text -n} = \frac{1}{2^n} , entonces:

\begin{align}2^m \boldcdot 2^n &= 2^{m+n} \\ \left(2^m\right)^n &= 2^{m \boldcdot n} \\ \frac{2^m}{2^n} &= 2^{m\text -n}. \end{align}

Estas reglas también funcionan para potencias de números menores que 1. Por ejemplo,  \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} y  \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} \boldcdot \frac{1}{3} . Podemos comprobar también que  \left(\frac{1}{3}\right)^2 \boldcdot \left(\frac{1}{3}\right)^4 = \left(\frac{1}{3}\right)^{2+4} .

Usemos una variable  x que nos ayude a ver esa estructura. Como x^2 \boldcdot {x^5} = x^7 (ambos lados tienen 7 factores que son x ), si elegimos el valor x = 4 , podemos observar que  4^2 \boldcdot 4^5 = 4^7 . De la misma manera, podemos elegir  x = \frac{2}{3} o  x = 11  o cualquier otro valor positivo, y mostrar que esas relaciones todavía se mantienen.

Problemas de práctica de la lección 6

  1. Priya dice “Puedo determinar 5^0 viendo otras potencias de 5. 5^3 es 125, 5^2 es 25, entonces 5^1 es 5.”

    1. ¿Qué patrón identificas?
    2. Si este patrón continúa, ¿cuál debería ser el valor de  5^0 ? Explica cómo lo sabes.
    3. Si este patrón continúa, ¿cuál debería ser el valor de 5^{\text-1} ? Explica cómo lo sabes.

  2. Selecciona todas las expresiones que sean equivalentes a  4^{\text-3} .

    1. -12
    2. 2^{\text-6}
    3. \frac{1}{4^3}
    4. \left(\frac{1}{4}\right) \boldcdot \left(\frac{1}{4}\right) \boldcdot \left(\frac{1}{4}\right)
    5. 12
    6. (\text-4) \boldcdot (\text-4) \boldcdot (\text-4)
    7. \frac{8^{\text-1}}{2^2}

  3. Escribe cada expresión usando un solo exponente.

    1. \frac{5^3}{5^6}
    2. (14^3)^6
    3. 8^3 \boldcdot 8^6
    4. \frac{16^6}{16^3}
    5. (21^3)^{\text-6}

  4. Andre instala un pluviómetro para medir la lluvia en su patio trasero. El martes, llueve todo el día.

    • Él inicia a las 10 a.m. con el pluviómetro vacío y empieza a llover.
    • Dos horas después, él revisa y el pluviómetro tiene 2 cm de agua.
    • Empieza a llover aun más fuerte y, a las 4 p.m., la lluvia se detiene. Entonces Andre revisa el pluviómetro y observa que tiene 10 cm de agua.
    • Mientras lo revisa, lo golpea accidentalmente y derrama la mayor parte del agua, dejando solo 3 cm de agua en el pluviómetro.
    • Cuando él revisa por última vez a las 5 p.m., no hay cambios.

    Gráfica A

    Gráfica B

    1. ¿Cuál de las dos gráficas podría representar la historia de Andre? Explica tu razonamiento.
    2. Etiqueta los ejes de la gráfica correcta con unidades apropiadas.
    3. Usa la gráfica para determinar cuánta lluvia cayó en total el martes.